Ecuaţii şi inecuaţii
Test 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Rezolvați ecuația:

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0

x \in \{2; 3\}

x \in \{-3; -2\}

x \in \{1; 6\}

x \in \{-6; -1\}

Exercițiul 2

Rezolvați ecuația:

x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0

x \in \{-2; 2\}

x \in \{-4; 4\}

x \in \emptyset

x \in \{2\}

Exercițiul 3

Rezolvați ecuația:

x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0

x \in \{-1; 5\}

x \in \emptyset

x \in \{1; -5\}

x \in \{-2; 2\}

Exercițiul 4

Rezolvați ecuația:

x2+2x−8=0x^2 + 2x - 8 = 0x2+2x−8=0

x \in \{-4; 2\}

x \in \{-2; 4\}

x \in \{-8; 1\}

x \in \{-1; 8\}

Exercițiul 5

Rezolvați ecuația:

x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0x2−6x+9=0

x \in \{-3; 3\}

x \in \{1; 9\}

x \in \{3\}

x \in \emptyset

Exercițiul 6

Rezolvați ecuația:

2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 02x2−3x−2=0

x \in \{-2; \frac{1}{2}\}

x \in \{-\frac{1}{2}; 2\}

x \in \{-2; 1\}

x \in \{-1; 2\}

Exercițiul 7

Rezolvați ecuația:

x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0x2+x+3=0

x \in \emptyset

x \in \{-3; 1\}

x \in \{-1; 3\}

x \in \{1; 3\}

Exercițiul 8

Rezolvați ecuația:

−x2+5x−4=0-x^2 + 5x - 4 = 0−x2+5x−4=0

x \in \{-4; -1\}

x \in \{-1; 4\}

x \in \{1; 4\}

x \in \{-4; 1\}

Exercițiul 9

Rezolvați ecuația:

−2x2+5x+3=0-2x^2 + 5x + 3 = 0−2x2+5x+3=0

x \in \{-1; 3\}

x \in \{-3; 1\}

x \in \{-3; \frac{1}{2}\}

x \in \{-\frac{1}{2}; 3\}

Exercițiul 10

Rezolvați ecuația:

4x2−4x+1=04x^2 - 4x + 1 = 04x2−4x+1=0

x \in \{-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\}

x \in \{\frac{1}{2}\}

x \in \{1; 4\}

x \in \emptyset

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: a) $x \in \{2; 3\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0

{a=1b=−5c=6\begin{cases} a = 1 \\ b = -5 \\ c = 6 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=−5c=6​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=(−5)2−4⋅1⋅6\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6Δ=(−5)2−4⋅1⋅6

Δ=25−24=1\Delta = 25 - 24 = 1Δ=25−24=1

Deoarece  Δ>0\Delta > 0Δ>0 , ecuația are două soluții reale distincte. Aplicăm formula de rezolvare:

x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​

x1,2=5±12⋅1x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}x1,2​=2⋅15±1​​

x1=5−12=2x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2x1​=25−1​=2

x2=5+12=3x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3x2​=25+1​=3

Deci:  x∈{2;3}x \in \{2; 3\}x∈{2;3}

Exercițiul 2

Răspuns corect: d) $x \in \{2\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0

{a=1b=−4c=4\begin{cases} a = 1 \\ b = -4 \\ c = 4 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=−4c=4​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=(−4)2−4⋅1⋅4\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4Δ=(−4)2−4⋅1⋅4

Δ=16−16=0\Delta = 16 - 16 = 0Δ=16−16=0

Deoarece  Δ=0\Delta = 0Δ=0 , ecuația are două soluții reale egale  (x1=x2x_1 = x_2x1​=x2​) . Aplicăm formula:

x1=x2=−b2ax_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}x1​=x2​=2a−b​

x1=x2=42⋅1=2x_1 = x_2 = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2x1​=x2​=2⋅14​=2

Deci:  x∈{2}x \in \{2\}x∈{2}

Exercițiul 3

Răspuns corect: b) $x \in \emptyset$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0

{a=1b=2c=5\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = 5 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=2c=5​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=22−4⋅1⋅5\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5Δ=22−4⋅1⋅5

Δ=4−20=−16\Delta = 4 - 20 = -16Δ=4−20=−16

Deoarece  Δ<0\Delta < 0Δ<0 , ecuația nu are soluții reale.

Mulțimea soluțiilor în mulțimea numerelor reale este mulțimea vidă:

x∈∅x \in \emptysetx∈∅

Exercițiul 4

Răspuns corect: a) $x \in \{-4; 2\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2+2x−8=0x^2 + 2x - 8 = 0x2+2x−8=0

{a=1b=2c=−8\begin{cases} a = 1 \\ b = 2 \\ c = -8 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=2c=−8​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=22−4⋅1⋅(−8)\Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)Δ=22−4⋅1⋅(−8)

Δ=4+32=36\Delta = 4 + 32 = 36Δ=4+32=36

Deoarece  Δ>0\Delta > 0Δ>0 , ecuația are două soluții reale distincte. Aplicăm formula de rezolvare:

x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​

x1,2=−2±362⋅1x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}x1,2​=2⋅1−2±36​​

x1=−2−62=−4x_1 = \frac{-2 - 6}{2} = -4x1​=2−2−6​=−4

x2=−2+62=2x_2 = \frac{-2 + 6}{2} = 2x2​=2−2+6​=2

Așadar,  x∈{−4;2}x \in \{-4; 2\}x∈{−4;2}

Exercițiul 5

Răspuns corect: c) $x \in \{3\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0x2−6x+9=0

{a=1b=−6c=9\begin{cases} a = 1 \\ b = -6 \\ c = 9 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=−6c=9​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=(−6)2−4⋅1⋅9\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9Δ=(−6)2−4⋅1⋅9

Δ=36−36=0\Delta = 36 - 36 = 0Δ=36−36=0

Deoarece  Δ=0\Delta = 0Δ=0 , ecuația are două soluții reale egale  (x1=x2x_1 = x_2x1​=x2​) . Aplicăm formula:

x1=x2=−b2ax_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}x1​=x2​=2a−b​

x1=x2=62⋅1=3x_1 = x_2 = \frac{6}{2 \cdot 1} = 3x1​=x2​=2⋅16​=3

Așadar,  x∈{3}x \in \{3\}x∈{3}

Exercițiul 6

Răspuns corect: b) $x \in \{-\frac{1}{2}; 2\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 02x2−3x−2=0

{a=2b=−3c=−2\begin{cases} a = 2 \\ b = -3 \\ c = -2 \end{cases}⎩⎨⎧​a=2b=−3c=−2​

Calculăm discriminantul  Δ:\Delta:Δ:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=(−3)2−4⋅2⋅(−2)\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)Δ=(−3)2−4⋅2⋅(−2)

Δ=9+16=25\Delta = 9 + 16 = 25Δ=9+16=25

Deoarece  Δ>0\Delta > 0Δ>0 , ecuația are două soluții reale distincte.

x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​

x1,2=3±252⋅2x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}x1,2​=2⋅23±25​​

x1=3−54=−12x_1 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}x1​=43−5​=−21​

x2=3+54=2x_2 = \frac{3 + 5}{4} = 2x2​=43+5​=2

Deci:  x∈{−12;2}x \in \{-\frac{1}{2}; 2\}x∈{−21​;2}

Exercițiul 7

Răspuns corect: a) $x \in \emptyset$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0x2+x+3=0

{a=1b=1c=3\begin{cases} a = 1 \\ b = 1 \\ c = 3 \end{cases}⎩⎨⎧​a=1b=1c=3​

Calculăm discriminantul  Δ\DeltaΔ  folosind formula:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=12−4⋅1⋅3\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3Δ=12−4⋅1⋅3

Δ=1−12=−11\Delta = 1 - 12 = -11Δ=1−12=−11

Deoarece  Δ<0\Delta < 0Δ<0 , ecuația nu are soluții reale.

Soluția este:  x∈∅x \in \emptysetx∈∅

Exercițiul 8

Răspuns corect: c) $x \in \{1; 4\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

−x2+5x−4=0-x^2 + 5x - 4 = 0−x2+5x−4=0

{a=−1b=5c=−4\begin{cases} a = -1 \\ b = 5 \\ c = -4 \end{cases}⎩⎨⎧​a=−1b=5c=−4​

Calculăm discriminantul  Δ:\Delta:Δ:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=52−4⋅(−1)⋅(−4)\Delta = 5^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)Δ=52−4⋅(−1)⋅(−4)

Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9Δ=25−16=9

Deoarece  Δ>0\Delta > 0Δ>0 , ecuația are două soluții reale distincte.

x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​

x1,2=−5±92⋅(−1)x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot (-1)}x1,2​=2⋅(−1)−5±9​​

x1=−5−3−2=4x_1 = \frac{-5 - 3}{-2} = 4x1​=−2−5−3​=4

x2=−5+3−2=1x_2 = \frac{-5 + 3}{-2} = 1x2​=−2−5+3​=1

În final:  x∈{1;4}x \in \{1; 4\}x∈{1;4}

Exercițiul 9

Răspuns corect: d) $x \in \{-\frac{1}{2}; 3\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

−2x2+5x+3=0-2x^2 + 5x + 3 = 0−2x2+5x+3=0

{a=−2b=5c=3\begin{cases} a = -2 \\ b = 5 \\ c = 3 \end{cases}⎩⎨⎧​a=−2b=5c=3​

Calculăm discriminantul  Δ:\Delta:Δ:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=52−4⋅(−2)⋅3\Delta = 5^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 3Δ=52−4⋅(−2)⋅3

Δ=25+24=49\Delta = 25 + 24 = 49Δ=25+24=49

Deoarece  Δ>0\Delta > 0Δ>0 , ecuația are două soluții reale distincte.

x1,2=−b±Δ2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}x1,2​=2a−b±Δ​​

x1,2=−5±492⋅(−2)x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot (-2)}x1,2​=2⋅(−2)−5±49​​

x1=−5−7−4=3x_1 = \frac{-5 - 7}{-4} = 3x1​=−4−5−7​=3

x2=−5+7−4=−24=−12x_2 = \frac{-5 + 7}{-4} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}x2​=−4−5+7​=−42​=−21​

Soluția ecuației este:  x∈{−12;3}x \in \{-\frac{1}{2}; 3\}x∈{−21​;3}

Exercițiul 10

Răspuns corect: b) $x \in \{\frac{1}{2}\}$

Explicație:Identificăm coeficienții ecuației de gradul al II-lea:

4x2−4x+1=04x^2 - 4x + 1 = 04x2−4x+1=0

{a=4b=−4c=1\begin{cases} a = 4 \\ b = -4 \\ c = 1 \end{cases}⎩⎨⎧​a=4b=−4c=1​

Discriminantul  Δ:\Delta:Δ:

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acΔ=b2−4ac

Δ=(−4)2−4⋅4⋅1\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1Δ=(−4)2−4⋅4⋅1

Δ=16−16=0\Delta = 16 - 16 = 0Δ=16−16=0

Deoarece  Δ=0\Delta = 0Δ=0 , ecuația are două soluții reale egale  (x1=x2x_1 = x_2x1​=x2​).

x1=x2=−b2ax_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}x1​=x2​=2a−b​

x1=x2=42⋅4=48=12x_1 = x_2 = \frac{4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}x1​=x2​=2⋅44​=84​=21​

Soluția este:  x∈{12}x \in \{\frac{1}{2}\}x∈{21​}

Test 2

Ecuaţii şi inecuaţii

Exercițiul 1

Rezolvați ecuația:

x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0x2−5x+6=0

Exercițiul 2

Rezolvați ecuația:

x2−4x+4=0x^2 - 4x + 4 = 0x2−4x+4=0

Exercițiul 3

Rezolvați ecuația:

x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0x2+2x+5=0

Exercițiul 4

Rezolvați ecuația:

x2+2x−8=0x^2 + 2x - 8 = 0x2+2x−8=0

Exercițiul 5

Rezolvați ecuația:

x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0x2−6x+9=0

Exercițiul 6

Rezolvați ecuația:

2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 02x2−3x−2=0

Exercițiul 7

Rezolvați ecuația:

x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0x2+x+3=0

Exercițiul 8

Rezolvați ecuația:

−x2+5x−4=0-x^2 + 5x - 4 = 0−x2+5x−4=0

Exercițiul 9

Rezolvați ecuația:

−2x2+5x+3=0-2x^2 + 5x + 3 = 0−2x2+5x+3=0

Exercițiul 10

Rezolvați ecuația:

4x2−4x+1=04x^2 - 4x + 1 = 04x2−4x+1=0

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Ecuaţii şi inecuaţiiTest 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 2

Ecuaţii şi inecuaţii
Test 2