6.1 Ecuaţii şi inecuaţiia. Ecuaţii de gradul 1
Ecuațiile de forma ax+b=0 (cu a=0) se rezolvă prin metoda mersului invers.
Prin metoda mersului invers:
• adunarea devine scădere
• scăderea devine adunare
• înmulțirea devine împărțire
• împărțirea devine înmulțirea
Mai exact:
ax=−bx=−abExemple:2x+3=−6⇒2x=−6−3⇒⇒2x=−9⇒x=−293x−5=10⇒3x=15⇒⇒x=5−4x+7=3⇒−4x=−4⇒⇒x=15x+2=0⇒5x=−2⇒⇒x=−52
Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții.
b. Inecuatii de gradul 1
O inecuație de gradul 1 are forma:
ax+b>0ax+b<0ax+b≥0ax+b≤0
• Se aplică aceeași metodă a mersului invers pentru a izola x.
• Atenție: dacă se înmulțește sau se împarte cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează.
Exemple:2x+3>7⇒2x>4⇒x>23x−5≤10⇒3x≤15⇒x≤5−2x+3>7⇒−2x>4⇒x<−2−4x+1≥−7⇒−4x≥−8⇒x≤2Notă: Soluția unei inecuații este intervalul de valori care satisface relația dată. Două inecuații sunt echivalente dacă au același set de soluții.
Ecuațiile și inecuațiile de gradul 1 sunt fundamentale pentru rezolvarea problemelor algebrice și constituie baza pentru ecuațiile de grad superior.
c. Ecuaţii de gradul 2
Ecuațiile de forma ax2+bx+c=0 (cu a=0) se rezolvă prin următoarele etape:
• se stabilesc coeficienții a, b, c.
• se calculează discriminantul ecuației:∆=b2−4ac
• se calculează soluțiile ecuației: x1,2=2a−b±Δ
Analizând formula soluțiilor ecuației se poate vedea că în funcție de valoarea lui ∆ există 3 cazuri și anume:
• dacă ∆>0 ecuația are două soluții diferitex1 și x2:
x1=2a−b+Δx2=2a−b−Δ
• dacă ∆=0 ecuația are o singură soluție:x1=x2=2a−b+0x1=x2=2a−b
• dacă ∆<0 ecuația nu soluții reale, deoarece ∆ nu este definit în ℝ.
Exemplul 1:x2+7x+12=0a=1,b=7,c=12Δ=b2−4acΔ=72−4⋅1⋅12=49−48=1>0x1,2=2⋅1−7±1=2−7±1x1=2−7+1=2−6=−3x2=2−7−1=2−8=−4Exemplul 2:4x2−12x+9=0a=4,b=−12,c=9Δ=b2−4acΔ=(−12)2−4⋅4⋅9=144−144=0x1=x2=2⋅4−(−12)+0=812=23Exemplul 3:x2−6x+10=0a=1,b=−6,c=10Δ=b2−4acΔ=(−6)2−4⋅1⋅10Δ=36−40=−4<0, ecuația nu are soluții reale.