Powered by Google Translate

Ecuaţii, inecuaţii şi sisteme de ecuații

6.1 Ecuaţii şi inecuaţii a. Ecuaţii de gradul 1 Ecuațiile de forma а⋅x+b=0а \cdot x+b=0  (cu а≠0а≠0) se rezolvă prin metoda mersului invers. Prin metoda mersului invers:    • adunarea devine scădere    • scăderea devine adunare    • înmulțirea devine împărțire    • împărțirea devine înmulțirea Mai exact:    а⋅x=−bа \cdot x=-b    x=−bаx=- \frac{b}а Exemple:    2⋅x+3=−6⇒2⋅x=−6−32 \cdot x+3=-6 \Rightarrow 2 \cdot x=-6-3 ⇒2⋅x=−9⇒x=−92\Rightarrow 2 \cdot x=-9 \Rightarrow x=- \frac{9}2    3x−5=10⇒3x=15⇒x=53x - 5 = 10 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5    −4x+7=3⇒−4x=−4⇒x=1-4x + 7 = 3 \Rightarrow -4x = -4 \Rightarrow x = 1    5x+2=0⇒5x=−2⇒x=−255x + 2 = 0 \Rightarrow 5x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{5} Două ecuații sunt echivalente dacă au aceleași soluții.
b. Inecuatii de gradul 1 O inecuație de gradul 1 are forma:    a⋅x+b>0a \cdot x + b > 0    a⋅x+b<0a \cdot x + b < 0      a⋅x+b≥0a \cdot x + b \geq 0      a⋅x+b≤0a \cdot x + b \leq 0    • Se aplică aceeași metodă a mersului invers pentru a izola  x.x.    • Atenție: dacă se înmulțește sau se împarte cu un număr negativ, semnul inegalității se inversează. Exemple:      2x+3>7⇒2x>4⇒x>22x + 3 > 7 \Rightarrow 2x > 4 \Rightarrow x > 2   −2x+3>7⇒−2x>4⇒x<−2-2x + 3 > 7 \Rightarrow -2x > 4 \Rightarrow x < -2    3x−5≤10⇒3x≤15⇒x≤53x - 5 \leq 10 \Rightarrow 3x \leq 15 \Rightarrow x \leq 5   −4x+1≥−7⇒−4x≥−8⇒x≤2-4x + 1 \geq -7 \Rightarrow -4x \geq -8 \Rightarrow x \leq 2   Notă: Soluția unei inecuații este intervalul de valori care satisface relația dată. Două inecuații sunt echivalente dacă au același set de soluții. Ecuațiile și inecuațiile de gradul 1 sunt fundamentale pentru rezolvarea problemelor algebrice și constituie baza pentru ecuațiile de grad superior.
c. Ecuaţii de gradul 2 Ecuațiile de forma а⋅x2+b⋅x+c=0а \cdot x^2 + b\cdot x + c = 0  (cu  а≠0а≠0) se rezolvă prin următoarele etape:    • se stabilesc coeficienții а, b, c.    • se calculează discriminantul ecuației:         ∆=b2−4аc∆=b^2-4аc    • se calculează soluțiile ecuației:         x1,2=−b±Δ2⋅ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a} Analizând formula soluțiilor ecuației se poate vedea că în funcție de valoarea lui ∆ există 3 cazuri și anume:    • dacă  ∆>0∆>0  ecuația are două soluții diferite  x1x_1  și  x2x_2:        x1=−b+Δ2⋅аx_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2 \cdot а}        x2=−b−Δ2⋅аx_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2 \cdot а}    • dacă  ∆=0∆=0  ecuația are o singură soluție:        x1=x2=−b+02⋅аx_{1}=x_{2} = \frac{-b + \sqrt{0}}{2 \cdot а}        x1=x2=−b2⋅аx_{1}=x_{2} = \frac{-b}{2 \cdot а}    • dacă  ∆<0∆<0  ecuația nu soluții reale, deoarece  ∆\sqrt{∆}  nu este definit în ℝ. Exemplul 1: x2+7⋅x+12=0x^2 + 7 \cdot x + 12 = 0 а=1,b=7,c=12а = 1, \quad b = 7, \quad c = 12 Δ=b2−4аc=72−4⋅1⋅12=49−48=1>0\Delta = b^2 - 4аc = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 > 0 x1,2=−7±12⋅1=−7±12x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 1}{2} x1=−7+12=−62=−3x_1 = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 x2=−7−12=−82=−4x_2 = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4 Exemplul 2: 4⋅x2−12⋅x+9=04 \cdot x^2 - 12 \cdot x + 9 = 0 а=4,b=−12,c=9а = 4, \quad b = -12, \quad c = 9 Δ=b2−4аc=(−12)2−4⋅4⋅9=144−144=0\Delta = b^2 - 4аc = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0 x1=x2=−(−12)+02⋅4=128=32x_1 = x_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{0}}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} Exemplul 3: x2−6⋅x+10=0x^2 - 6 \cdot x + 10 = 0 а=1,b=−6,c=10а = 1, \quad b = -6, \quad c = 10 Δ=b2−4аc=(−6)2−4⋅1⋅10=36−40=−4<0\Delta = b^2 - 4аc = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 < 0, ecuația nu are soluții reale.
6.2 Sisteme de ecuații de grad 1 Rezolvarea sistemelor de ecuații se poate  face prin două metode:    a. Metoda reducerii    b. Metoda substituției a. Metoda reducerii Presupune eliminarea uneia dintre necunoscute. Se înmulțește una dintre ecuații cu un număr pentru a avea același coeficient al unei necunoscute în ambele ecuații, iar prin adunarea (sau scăderea) celor două ecuații se reduce necunoscuta dorită. Pentru a elimina eventualele greșeli în calcul este recomandat ca termenii necunoscutei care urmează să fie eliminați să aibă semne opuse, iar cele două relații să fie adunate. Exemplul 1: {2⋅x+3⋅y=53⋅x+4⋅y=6\begin{cases} 2 \cdot x + 3 \cdot y = 5 \\ 3 \cdot x + 4 \cdot y = 6 \end{cases}    • dacă se alege eliminarea necunoscutei x, se căută un număr care se împarte la 2 și la 3 (6 este numărul căutat).    • ar trebui înmulțită prima relație cu 3 și a doua cu 2, dar ținând cont de recomandarea de mai sus se alege ca unul dintre numerele cu care se înmulțește să fie negativ.    • deci, se înmulțește prima relație cu 3 și a doua cu -2 (se mai poate și invers, prima relație cu -3 și a doua cu 2).   {2⋅x+3⋅y=5∣⋅(3)3⋅x+4⋅y=6∣⋅(−2)\begin{cases} 2 \cdot x + 3 \cdot y = 5 & | \cdot (3) \\ 3 \cdot x + 4 \cdot y = 6 & | \cdot (-2) \end{cases}     ⟹    {6⋅x+9⋅y=15−6⋅x−8⋅y=−12\;\;\Longrightarrow\;\; \begin{cases} 6 \cdot x + 9 \cdot y = 15 \\ -6 \cdot x - 8 \cdot y = -12 \end{cases} Adunând cele două relații se obține: +1⋅y=3⇒y=3+1 \cdot y=3 \Rightarrow y=3 Pentru a afla x se înlocuiește y în oricare din cele două ecuații ale sistemului. 2⋅x+3⋅3=52 \cdot x + 3 \cdot 3 = 5  ⇒  2⋅x=5−9\;\Rightarrow\; 2 \cdot x = 5 - 9  ⇒  2⋅x=−4\;\Rightarrow\; 2 \cdot x = -4  ⇒  x=−42=−2\;\Rightarrow\; x = \frac{-4}{2} = -2
Exemplul 2: {4⋅x+3⋅y=13⋅x−y=−9\begin{cases} 4 \cdot x + 3 \cdot y = 1 \\ 3 \cdot x - y = -9 \end{cases} Se observă că y are coeficienții cu semne opuse, deci se poate elimina ușor necunoscuta y . Pentru aceasta se înmulțește a doua ecuație cu 3.   {4⋅x+3⋅y=13⋅x−y=−9∣⋅(3)\begin{cases} 4 \cdot x + 3 \cdot y = 1 \\ 3 \cdot x - y = -9 | \cdot (3) \end{cases}    ⟹    {4⋅x+3⋅y=19⋅x−3⋅y=−27\;\;\Longrightarrow\;\; \begin{cases} 4 \cdot x + 3 \cdot y = 1 \\ 9 \cdot x - 3 \cdot y = -27 \end{cases} Adunând cele două relații se obține: 13⋅x=−26⇒x=−213 \cdot x =-26 \Rightarrow x=-2 Înlocuind în prima ecuație a sistemului rezultă: 4⋅(−2)+3⋅y=14 \cdot (-2) + 3 \cdot y = 1  ⇒  −8+3⋅y=1\;\Rightarrow\; -8 + 3 \cdot y = 1  ⇒  3⋅y=1+8\;\Rightarrow\; 3 \cdot y = 1 + 8  ⇒  3⋅y=9\;\Rightarrow\; 3 \cdot y = 9  ⇒  y=3\;\Rightarrow\; y = 3 Sistemele de ecuații din cele două exemple, de mai sus, sunt sisteme diferite care au aceleși soluții, deci sunt sisteme echivalente.
b. Metoda substituției Metoda presupune scoaterea uneia dintre necunoscute în funcție de cealaltă necunoscută, dintr-una din ecuații și înlocuirea sa în cealaltă ecuație. Exemplul 1: {2⋅x+3⋅y=53⋅x+4⋅y=6\begin{cases} 2 \cdot x + 3 \cdot y = 5 \\ 3 \cdot x + 4 \cdot y = 6 \end{cases} Din prima ecuație se scoate, de exemplu, necunoscuta x: 2⋅x=5−3⋅y  ⇒  x=5−3⋅y22 \cdot x = 5 - 3 \cdot y \;\Rightarrow\; x = \frac{5 - 3 \cdot y}{2} Înlocuind în cea de a doua ecuație: 3⋅5−3⋅y2+4⋅y=63 \cdot \frac{5 - 3 \cdot y}{2} + 4 \cdot y = 6 Aducând la același numitor (se amplifică cu 2 termenul 4y și 6) ecuația devine: 3⋅(5−3⋅y)+2⋅4⋅y=2⋅63 \cdot (5 - 3 \cdot y) + 2 \cdot 4 \cdot y = 2 \cdot 6  ⇒  15−9⋅y+8⋅y=12\;\Rightarrow\; 15 - 9 \cdot y + 8 \cdot y = 12  ⇒  −y=12−15\;\Rightarrow\; -y = 12 - 15  ⇒  −y=−3\;\Rightarrow\; -y = -3  ⇒  y=3\;\Rightarrow\; y = 3 Se înlocuiește valoarea lui y pentru a afla x: x=5−3⋅32=−42=−2x = \frac{5 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2
Exemplul 2: {4⋅x+3⋅y=13⋅x−y=−9\begin{cases} 4 \cdot x + 3 \cdot y = 1 \\ 3 \cdot x - y = -9 \end{cases} Din a doua ecuație se scoate necunoscuta y: −y=−9−3⋅x⇒y=9+3⋅x-y=-9-3 \cdot x \Rightarrow y=9+3 \cdot x Înlocuind în prima ecuație: 4⋅x+3(9+3⋅x)=14 \cdot x + 3(9 + 3 \cdot x) = 1  ⇒  4⋅x+27+9⋅x=1\;\Rightarrow\; 4 \cdot x + 27 + 9 \cdot x = 1  ⇒  13⋅x=1−27\;\Rightarrow\; 13 \cdot x = 1 - 27  ⇒  13⋅x=−26\;\Rightarrow\; 13 \cdot x = -26  ⇒  x=−2\;\Rightarrow\; x = -2 Se înlocuiește valoarea lui x pentru a afla y: y=9+3⋅(−2)y = 9 + 3 \cdot (-2)  ⇒  y=9−6\;\Rightarrow\; y = 9 - 6  ⇒  y=3\;\Rightarrow\; y = 3