Powered by Google Translate

Calcul algebric

5.2 Descompuneri în factori A descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice. Pentru acesta există mai multe metode. a. Metoda factorului comun Se folosește următoarea formulă: a⋅b+b⋅c=b⋅(a+c)a \cdot b+b \cdot c=b \cdot (a+c) Exemple: 2x2+4x=2x(x+2)2x^2+4x=2x(x+2) 2x3+6x2+2x=2x(x2+3x+1)2 x^3+6x^2+ 2x=2x(x^2+3x+1) b. Metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat Se folosesc formulele de calcul prescurtat în sens invers: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Exemple: x2+4x+4=x2+2⋅x⋅2+22x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 x2+4x+4=(x+2)2x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 9x2+12x+4=(3x)2+2(3x)2+229x^2 + 12x + 4= (3x)^2 + 2(3x)2 + 2^2 9x2+12x+4=(3x+2)29x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2 9x2−1=(3x)2−129x^2 - 1= (3x)^2 - 1^2 9x2−1=(3x−1)(3x+1)9x^2 - 1= (3x-1)(3x+1) c. Metoda descompunerii în sumă și produs Când niciuna din metodele de mai sus nu se poate aplica mai există două metode de descompunere. Pentru a înțelege se ia ca exemplu:   x2−5⋅x+6x^2-5\cdot x+6 (x2+S⋅x+Px^2+S \cdot x+P). Prima metodă:    • se căută două numere a căror sumă să fie egală cu termenul din mijloc (-5), iar produsul lor să fie egal cu ultimul termen (6):       S=−5,P=+6S=-5,P=+6    • așadar numerele căutate sunt -2 și -3 deoarece:      (−2)+(−3)=−5(-2)+(-3)=-5      (−2)⋅(−3)=+6(-2) \cdot (-3)=+6    • descompunerea devine:      x2−5x+6=x2−2x−3x+6x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6    • se grupează termenii câte doi și se dă factor comun:    x2−5x+6x^2 - 5x + 6 =x2−2x−3x+6== x^2 - 2x - 3x + 6=    =x(x−2)−3(x−2)= x(x-2) - 3(x-2)    =(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)
A doua metodă: Ultima metodă explicată are la bază formarea pătratului sumei (sau diferenței). Se ia același exemplu:  x2−5x+6x^2-5x+6 și se încercă aplicarea:  a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. Etape:    • termenul din mijloc se scrie ca  2ab2ab  și se identifică termenul care lipsește:       x2−5x=x2−2⋅x⋅52x^2 - 5x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}    • se observă că  b=52b=\frac{5}2, iar  b2=254b^2=\frac{25}4    • pentru a nu modifica valoarea expresiei se adună și se scăde  b2b^2, apoi se adăugă ultimul termen al expresiei inițiale:       x2−5x+254−254+6x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 6    • primii 3 termeni formează  (a−b)2(a-b)^2      (x−52)2−254+6=(x−52)2−14\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 6= \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}    • mai departe se poate aplica:       a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)      (x−52)2−14=(x−52)2−(12)2=(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}= (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2=      =(x−52+12)(x−52−12)== \big(x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\big)\big(x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\big) =      =(x−42)(x−62)= \left(x - \frac{4}{2}\right)\left(x - \frac{6}{2}\right)      =(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)
«către subcapitol 5.1
către subcapitol 6.1»