Powered by Google Translate

Calcul algebric

5.2 Descompuneri în factori A descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice. Pentru acesta există mai multe metode. a. Metoda factorului comun Se folosește următoarea formulă: а⋅b+b⋅c=b⋅(а+c)а \cdot b+b \cdot c=b \cdot (а+c) Exemple: 2⋅x2+4⋅x=2⋅x(x+2)2 \cdot x^2+4 \cdot x=2\cdot x(x+2) 2⋅x3+6⋅x2+2⋅x=2⋅x(x2+3⋅x+1)2\cdot x^3+6 \cdot x^2+2 \cdot x=2 \cdot x(x^2+3\cdot x+1) b. Metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat Se folosesc formulele de calcul prescurtat în sens invers: а2+2аb+b2=(а+b)2а^2 + 2аb + b^2 = (а+b)^2 а2−2аb+b2=(а−b)2а^2 - 2аb + b^2 = (а-b)^2 а2−b2=(а+b)(а−b)а^2 - b^2 = (а+b)(а-b) Exemple: x2+4⋅x+4x^2 + 4 \cdot x + 4=x2+2⋅x⋅2+22= x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2=(x+2)2= (x+2)^2 9⋅x2+12⋅x+49 \cdot x^2 + 12 \cdot x + 4=(3⋅x)2+2⋅(3⋅x)⋅2+22= (3 \cdot x)^2 + 2 \cdot (3\cdot x) \cdot 2 + 2^2=(3⋅x+2)2= (3\cdot x+2)^2 9⋅x2−19 \cdot x^2 - 1=(3⋅x)2−12= (3 \cdot x)^2 - 1^2=(3⋅x−1)(3⋅x+1)= (3 \cdot x-1)(3 \cdot x+1) c. Metoda descompunerii în sumă și produs Când niciuna din metodele de mai sus nu se poate aplica mai există două metode de descompunere. Pentru a înțelege se ia ca exemplu:   x2−5⋅x+6x^2-5\cdot x+6 (x2+S⋅x+Px^2+S \cdot x+P). Prima metodă:    • se căută două numere a căror sumă să fie egală cu termenul din mijloc (-5), iar produsul lor să fie egal cu ultimul termen (6):       S=−5,P=+6S=-5,P=+6    • așadar numerele căutate sunt -2 și -3 deoarece:      (−2)+(−3)=−5(-2)+(-3)=-5      (−2)⋅(−3)=+6(-2) \cdot (-3)=+6    • descompunerea devine:      x2−5⋅x+6=x2−2⋅x−3⋅x+6x^2-5\cdot x+6=x^2-2\cdot x-3\cdot x+6    • se grupează termenii câte doi și se dă factor comun:    x2−5⋅x+6x^2 - 5 \cdot x + 6 =x2−2⋅x−3⋅x+6== x^2 - 2 \cdot x - 3 \cdot x + 6=    =x(x−2)−3(x−2)= x(x-2) - 3(x-2)    =(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)
A doua metodă: Ultima metodă explicată are la bază formarea pătratului sumei (sau diferenței). Se ia același exemplu:  x2−5⋅x+6x^2-5 \cdot x+6 și se încercă aplicarea:  а2−2аb+b2=(а−b)2а^2 - 2аb + b^2 = (а-b)^2. Etape:    • termenul din mijloc se scrie ca  2аb2аb  și se identifică termenul care lipsește:       x2−5⋅x=x2−2⋅x⋅52x^2 - 5 \cdot x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}    • se observă că  b=52b=\frac{5}2, iar  b2=254b^2=\frac{25}4    • pentru a nu modifica valoarea expresiei se adună și se scăde  b2b^2, apoi se adăugă ultimul termen al expresiei inițiale:       x2−5⋅x+254−254+6x^2 - 5 \cdot x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 6    • primii 3 termeni formează  (а−b)2(а-b)^2      (x−52)2−254+6=(x−52)2−14\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 6= \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}    • mai departe se poate aplica  а2−b2=(а+b)(a−b)а^2-b^2=(а+b)(a-b)      (x−52)2−14(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}=(x−52)2−(12)2= (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2=(x−52+12)(x−52−12)= \big(x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\big)\big(x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\big)=(x−42)(x−62)= \left(x - \frac{4}{2}\right)\left(x - \frac{6}{2}\right)=(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)