Powered by Google Translate

Calcul algebric

5.1 Calcule cu numere reale reprezentate prin litere a. Adunarea și scăderea Adunarea și scăderea se poate realiza doar între termenii cu aceeași putere. Exemplu:    3a2b+a2b=3a2b+1a2b=4a2b3 a^2b + a^2 b= 3 a^2 b + 1a^2 b= 4 a^2 b    3a2b+(ab)23 a^2 b + (ab)^2 nu se poate realiza b. Înmulţirea și împărţirea Înmulţirea și împărţirea se realizează respectând următoarele condiții:    • numerele se înmulțesc și se împart între ele folosind înmulțirea și împărțirea numerelor întregi sau raționale (după caz)    • operațiile literelor se fac folosind formulele de calcul cu puteri ale numerelor întregi De reamintit faptul că împărțirea a două fracții se realizează înmulțind prima fracție cu a doua inversată. Exemple: 23a2b⋅12(ab)3\frac{2}{3} a^2 b \cdot \frac{1}{2} (ab)^3 =23⋅12⋅a2+3b1+3= \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a^{2+3} b^{1+3}=13a5b4= \frac{1}{3} a^5 b^4 23a2b:[12(ab)3]\frac{2}{3} a^2 b : \left[\frac{1}{2} (ab)^3\right]=23⋅21⋅a2−3b1−3== \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot a^{2-3} b^{1-3}= =43a−1b−2= \frac{4}{3} a^{-1} b^{-2}=43⋅1a⋅b2= \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{a \cdot b^2} c. Ridicare la putere Se va folosi formula de calcul cu puteri de la numere întregi: (am)n=am⋅n(a^m)^n = a^{m \cdot n} Exemple: (23a2b)2\left(\frac{2}{3} a^2 b\right)^2=(23)2a2⋅2b1⋅2= \left(\frac{2}{3}\right)^2 a^{2 \cdot 2} b^{1 \cdot 2}=49a4b2= \frac{4}{9} a^4 b^2 (5⋅a2b3)3\left(\frac{5 \cdot a^2}{b^3}\right)^3=53⋅a2⋅3b3⋅3= 5^3 \cdot \frac{a^{2 \cdot 3}}{b^{3 \cdot 3}}=125a6b9= \frac{125 a^6}{b^9}
d. Formule de calcul prescurtat (a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 (a−b)2=a2−2ab+b2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2 (a+b)(a−b)=(a−b)(a+b)(a+b)(a-b) = (a-b)(a+b)    • Formulele  (a+b)2(a+b)^2  și  (a−b)2(a-b)^2  permit calculul rapid al pătratului unui binom fără a-l dezvolta pas cu pas.    • Diferența pătratelor  (a+b)(a−b)=a2−b2(a+b)(a-b) = a^2 - b^2  se folosește pentru factorizarea rapidă a unor expresii.    • Aceste formule sunt utile atât pentru algebra simplă, cât și pentru rezolvarea de exerciții cu numere sau variabile. Exemple: (a+3b)2=a2+2⋅a⋅3b+(3b)2(a + 3b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3b + (3b)^2 (a+3b)2=a2+6ab+9b2(a + 3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2 (2a−b)2=(2a)2−2⋅2a⋅b+b2(2a - b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 (2a−b)2=4a2−4ab+b2(2a - b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2 (a+5b)(a−5b)=a2−(5b)2(a + 5b)(a - 5b) = a^2 - (5b)^2 (a+5b)(a−5b)=a2−25b2(a + 5b)(a - 5b) = a^2 - 25b^2 (3a−2b)(3a+2b)=(3a)2−(2b)2(3a - 2b)(3a + 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 (3a−2b)(3a+2b)=9a2−4b2(3a - 2b)(3a + 2b) = 9a^2 - 4b^2 (2x+3)2=(2x)2+2⋅2x⋅3+32(2 x + 3)^2 = (2 x)^2 + 2 \cdot 2 x \cdot 3 + 3^2 (2x+3)2=4x2+12x+9(2 x + 3)^2 = 4 x^2 + 12 x + 9 (x−5)2=x2−2⋅x⋅5+52(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 (x−5)2=x2−10x+25(x - 5)^2 = x^2 - 10 x + 25 (3 x+4)(3 x−4)=(3 x)2−42(3\ x + 4)(3\ x - 4) = (3\ x)^2 - 4^2 (3 x+4)(3 x−4)=9 x2−16(3\ x + 4)(3\ x - 4) = 9\ x^2 - 16 (x−7)(x+7)=x2−72(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 (x−7)(x+7)=x2−49(x - 7)(x + 7) = x^2 - 49
5.2 Descompuneri în factori A descompune o expresie algebrică în factori înseamnă a o scrie ca un produs de două sau mai multe expresii algebrice. Pentru acesta există mai multe metode. a. Metoda factorului comun Se folosește următoarea formulă: a⋅b+b⋅c=b⋅(a+c)a \cdot b+b \cdot c=b \cdot (a+c) Exemple: 2x2+4x=2x(x+2)2x^2+4x=2x(x+2) 2x3+6x2+2x=2x(x2+3x+1)2 x^3+6x^2+ 2x=2x(x^2+3x+1) b. Metoda folosirii formulelor de calcul prescurtat Se folosesc formulele de calcul prescurtat în sens invers: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) Exemple: x2+4x+4=x2+2⋅x⋅2+22x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 x2+4x+4=(x+2)2x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 9x2+12x+4=(3x)2+2(3x)2+229x^2 + 12x + 4= (3x)^2 + 2(3x)2 + 2^2 9x2+12x+4=(3x+2)29x^2 + 12x + 4 = (3x+2)^2 9x2−1=(3x)2−129x^2 - 1= (3x)^2 - 1^2 9x2−1=(3x−1)(3x+1)9x^2 - 1= (3x-1)(3x+1) c. Metoda descompunerii în sumă și produs Când niciuna din metodele de mai sus nu se poate aplica mai există două metode de descompunere. Pentru a înțelege se ia ca exemplu:   x2−5⋅x+6x^2-5\cdot x+6 (x2+S⋅x+Px^2+S \cdot x+P). Prima metodă:    • se căută două numere a căror sumă să fie egală cu termenul din mijloc (-5), iar produsul lor să fie egal cu ultimul termen (6):       S=−5,P=+6S=-5,P=+6    • așadar numerele căutate sunt -2 și -3 deoarece:      (−2)+(−3)=−5(-2)+(-3)=-5      (−2)⋅(−3)=+6(-2) \cdot (-3)=+6    • descompunerea devine:      x2−5x+6=x2−2x−3x+6x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6    • se grupează termenii câte doi și se dă factor comun:    x2−5x+6x^2 - 5x + 6 =x2−2x−3x+6== x^2 - 2x - 3x + 6=    =x(x−2)−3(x−2)= x(x-2) - 3(x-2)    =(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)
A doua metodă: Ultima metodă explicată are la bază formarea pătratului sumei (sau diferenței). Se ia același exemplu:  x2−5x+6x^2-5x+6 și se încercă aplicarea:  a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2. Etape:    • termenul din mijloc se scrie ca  2ab2ab  și se identifică termenul care lipsește:       x2−5x=x2−2⋅x⋅52x^2 - 5x = x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{5}{2}    • se observă că  b=52b=\frac{5}2, iar  b2=254b^2=\frac{25}4    • pentru a nu modifica valoarea expresiei se adună și se scăde  b2b^2, apoi se adăugă ultimul termen al expresiei inițiale:       x2−5x+254−254+6x^2 - 5x + \frac{25}{4} - \frac{25}{4} + 6    • primii 3 termeni formează  (a−b)2(a-b)^2      (x−52)2−254+6=(x−52)2−14\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + 6= \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}    • mai departe se poate aplica:       a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)      (x−52)2−14=(x−52)2−(12)2=(x - \frac{5}{2})^2 - \frac{1}{4}= (x - \frac{5}{2})^2 - \left(\frac{1}{2}\right)^2=      =(x−52+12)(x−52−12)== \big(x - \frac{5}{2} + \frac{1}{2}\big)\big(x - \frac{5}{2} - \frac{1}{2}\big) =      =(x−42)(x−62)= \left(x - \frac{4}{2}\right)\left(x - \frac{6}{2}\right)      =(x−2)(x−3)= (x-2)(x-3)