Powered by Google Translate

Mulţimea numerelor reale

4.5 Calculul mediilor a. Media aritmetică   Media aritmetică a două numere se calculează prin adunarea valorilor și împărțirea sumei la numărul de valori. Este cea mai folosită medie în viața de zi cu zi și în școală.   Formula:      mа=а+b2m_а = \frac{а + b}{2}   Exemplu: Fie а=8 și b=12.   mа=8+122=10m_а = \frac{8 + 12}{2} = 10   Note:    - Media aritmetică reflectă valoarea medie a unui set de date și este utilă când toate valorile au aceeași importanță.    - În general, media aritmetică a notelor unui elev se folosește pentru a evalua performanța generală. b. Media aritmetică ponderată   Media aritmetică ponderată se folosește atunci când valorile nu au aceeași importanță, ci fiecare are o pondere. Este foarte utilizată la școală atunci când unele note contează mai mult decât altele (de exemplu, tezele).   Formula:        mp=а⋅p1+b⋅p2p1+p2m_p = \frac{а \cdot p_1 + b \cdot p_2}{p_1 + p_2}   unde  p1p_1  și  p2p_2  reprezintă ponderile (importanța fiecărei valori).   Exemplu:   La un test, într-o clasă s-au obținut următoarele note:      3 elevi au luat nota 5,      5 elevi au luat nota 7,      2 elevi au luat nota 10.   Să se calculeze media notelor clasei.   Media aritmetică ponderată este:   mp=5⋅3+7⋅5+10⋅23+5+2m_p = \frac{5 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{3 + 5 + 2}   mp=15+35+2010=7010=7m_p = \frac{15 + 35 + 20}{10} = \frac{70}{10} = 7   Răspuns: Media clasei este 7.   Observație:      - Nota 7 influențează cel mai mult media deoarece este obținută de cei mai mulți elevi.      - Media este o valoare reprezentativă pentru nivelul general al clasei. c. Media geometrică   Media geometrică este folosită mai ales pentru rate de creștere sau proporții. Se obține prin calculul rădăcinii pătrate a produsului valorilor.   Formula:      mg=а⋅bm_g = \sqrt{а \cdot b}   Exemplu: Fie а=8 și b=12.   mg=8⋅12=96≈9.798m_g = \sqrt{8 \cdot 12} = \sqrt{96} \approx 9.798   Notă: media geometrică este întotdeauna mai mică sau egală cu media aritmetică și nu poate fi calculată pentru valori negative.   
d. Media armonică   Media armonică este utilă atunci când valorile reprezintă rate sau viteze. Se calculează inversul mediei inverselor valorilor.   Formula:      mh=21а+1b=2аbа+bm_h = \frac{2}{\frac{1}{а} + \frac{1}{b}} = \frac{2аb}{а + b}   Exemplu: Fie а=8 și b=12.   mh=2⋅8⋅128+12=19220=9.6m_h = \frac{2 \cdot 8 \cdot 12}{8 + 12} = \frac{192}{20} = 9.6   Notă: Media armonică este mai mică decât media geometrică și media aritmetică și este indicată pentru probleme cu rate sau viteze medii. e. Inegalitatea mediilor matematice   Pentru orice două numere pozitive  аа  și  bb,  inegalitatea mediilor spune că:  
mh≤mg≤mаm_h \le m_g \le m_а
   adică:      - media armonică ≤ media geometrică ≤ media aritmetică   Exemplu:   Fie а=8 și b=12:   mh=9.6m_h = 9.6,  mg≈9.798m_g \approx 9.798,  mа=10m_а = 10   Se observă că inegalitatea este respectată.