Mulţimea numerelor reale

4.4 Intervale Un interval reprezintă o mulțime infinită și mărginită care conține toate numerele reale situate între două numere reale date. Mulțimea poate fi și nemărginită dacă unul dintre capetele intervalului este ±∞. Paranteza care definește un interval poate fi:    • paranteza rotundă simbolizează intervalul deschis (nu conține valoarea din capăt)    • paranteza dreaptă simbolizează intervalul închis (conține valoarea din capăt) a. Intervale mărginite    $(a,b)={x \in R / a<x<b}$  interval deschis în ambele capete    $[a,b]={x \in R / a≤x≤b}$  interval închis în ambele capete    $[a,b)={x \in R / a≤x<b}$  interval închis la stânga și deschis la dreapta    $(a,b]={x \in R / a<x≤b}$  interval deschis la stânga și închis la dreapta b. Intervale nemărginite    $(a,+∞)={x \in R / a<x}$  interval deschis la stânga și nemărginit la dreapta    $(-∞,a)={x \in R / x<a}$  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta    $[a,+∞)={x \in R / a≤x}$  interval închis la stânga și nemărginit la dreapta    $(-∞,a]={x \in R / x≤a}$  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta Modulul unei necunoscute reale poate fi scris ca un interval:    $|x|<a$ $\Rightarrow$ $-a<x<a$ $\Rightarrow$ $xϵ(-a,a)$ , pentru a>0    $|x|≤a$ $\Rightarrow$ $-a≤x≤a$ $\Rightarrow$ $xϵ[-a,a]$, pentru a>0    $|x|>a$ $\Rightarrow$ $x<-a$  și  $x>a$ $\Rightarrow$ $xϵ(-∞,-a)∪(a,+∞)$, pentru a>0    $|x|≥a$ $\Rightarrow$ $x≤-a$  și  $x≥a$ $\Rightarrow$ $xϵ[-∞,-a]∪[a,+∞]$, pentru a>0 c. Operații cu intervale    • reuniunea a două intervale este formată din numerele care aparțin celor două intervale (toate numerele luate o singură dată)    • intersecția a două intervale este formată din numerele care sunt în ambele intervale (numerele comune).    • diferența a două intervale este formată din numerele care aparțin primului intervalul și nu aparțin celui de al doilea interval. Exemplu:    $[-2,5]∪(1,7)=[-2,7)$    $[-2,5]∩(1,7)=(1,5]$    $[-2,5]∖(1,7)=[-2,1]$    $(1,7)∖[-2,5]=(5,7)$ De reținut:      • Intervalele descriu mulțimi de numere reale și sunt folosite frecvent în inecuații.      • Tipul parantezelor arată dacă capetele intervalului sunt incluse sau nu.      • Transformarea modulului în intervale și operațiile cu intervale ajută la determinarea corectă a soluțiilor.