Metoda 1 (ridicare la pătrat):
(23)2=22⋅3=4⋅3=12(32)2=32⋅2=9⋅2=18(15)2=1542=16
Comparăm: 12<15<16<18⇒32 este cel mai mare.
Metoda 2 (introducere sub radical):
23=4⋅3=1232=9⋅2=1815=154=16
Comparăm: 12,18,15,16⇒ cel mai mare este 18, deci 32
Exercițiul 2
Răspuns corect: d) 33
Explicație:
Metoda 1 (ridicare la pătrat):
(33)2=9⋅3=27(25)2=4⋅5=20(20)2=2052=25
Comparăm: 20=20<25<27
Cel mai mare este 33.
Metoda 2 (introducere sub radical):
33=27,25=20,5=25
Maxim: 27⇒33
Exercițiul 3
Răspuns corect: a) 33
Explicație:
Mai întâi scoatem factorii de sub radical pentru a simplifica fracția: 27=33
Fracția devine: 333=31
Deoarece numitorul este compus dintr-un singur radical, raționalizăm prin amplificare cu el:
3)31=93=33
Exercițiul 4
Răspuns corect: a) 52
Explicație:
Simplificăm radicalul de la numitor prin scoaterea factorilor: 50=52
Fracția devine: 522
Deoarece numitorul este compus dintr-un produs de numere, amplificăm doar cu radicalul:
2)522=5422=5⋅222=1022
Simplificăm fracția prin 2 și obținem: 52
Exercițiul 5
Răspuns corect: b) 73−2
Explicație:
Deoarece numitorul este compus dintr-o adunare, amplificăm fracția cu conjugatul lui 3+2, care este 3−2. La numitor se va forma formula a2−b2:3−2)3+21=32−(2)21(3−2)==9−23−2=73−2
Exercițiul 6
Răspuns corect: b) 12−3
Explicație:
Deoarece numitorul este compus dintr-o adunare, amplificăm fracția cu conjugatul lui 2+3, care este 2−3. După amplificare, la numitor obținem întotdeauna formula a2−b2:2−3)2+31=22−(3)21(2−3)==4−32−3=12−3
Exercițiul 7
Răspuns corect: a) −22+3
Explicație:
Se poate observa că:
(22)2−32=8−9=−1<0
Deci numărul din modul este negativ, iar semnul trebuie schimbat:
∣22−3∣=−(22−3)∣22−3∣=−22+3
Exercițiul 8
Răspuns corect: b) −7+3
Explicație:
(7)2−32=7−9=−2<0
Deci expresia este negativă:
∣7−3∣=−(7−3)=3−7
Exercițiul 9
Răspuns corect: c) 3+2
Explicație:
Metoda 1: Aplicând formula radicalilor dubli
Formula generală este:
a+b=2a+c+2a−c , unde c2=a2−b .
1. Mai întâi, introducem factorul sub radicalul mic pentru a identifica termenii:
26=22⋅6=24
Expresia devine 5+24, de unde avem a=5 și b=24 .
2. Calculăm valoarea lui c:c2=52−24=1⇒c=1
3. Înlocuim datele în formula radicalului dublu:
5+26=25+1+25−1==26+24=3+2Metoda 2: Formarea unui pătrat perfect sub radical (Scurtătura)
Descompunem numărul 5 într-o sumă care să se potrivească cu formula de calcul prescurtat:
x2+2xy+y2=(x+y)2
observând că dublul produs este:
26=2⋅3⋅2 :
Deci numărul de sub radical:
5+26=3+26+2=(3)2+2⋅3⋅2+(2)2==(3+2)2
Revenind la radicalul inițial:
(3+2)2=∣3+2∣
Deoarece termenii din modul sunt numere pozitive, suma lor este tot un număr pozitiv, ceea ce înseamnă că valoarea expresiei rămâne neschimbată la eliminarea modulului:
∣3+2∣=3+2
Exercițiul 10
Răspuns corect: c) 5−2
Explicație:
Metoda 1: Aplicând formula radicalilor dubli
Formula generală este: a−b=2a+c−2a−c , unde c2=a2−b .
1. Mai întâi, introducem factorul sub radicalul mic pentru a identifica termenii: 45=42⋅5=16⋅5=80
Expresia devine 9−80, de unde avem a=9 și b=80 .
2. Calculăm valoarea lui c:c2=a2−b=92−80=81−80=1⇒c=1
3. Înlocuim datele în formula radicalului dublu:
9−45=29+1−29−1=210−28=5−4=5−2Metoda 2: Formarea unui pătrat perfect sub radical (Scurtătura)
Descompunem numărul 9 într-o sumă care să se potrivească cu formula de calcul prescurtat: x2−2xy+y2=(x−y)2 observând că dublul produs este 45=2⋅2⋅5 :
Deci numărul de sub radical:
9−45=5−45+4=(5)2−2⋅2⋅5+22=(5−2)2
Revenind la radicalul inițial:
(5−2)2=∣5−2∣
Deoarece 5=5 și 2=4, observăm că 5>2, ceea ce înseamnă că valoarea din interiorul modulului este pozitivă. Atunci când eliminăm modulul, expresia rămâne neschimbată:
∣5−2∣=5−2