Powered by Google Translate

Mulţimea numerelor reale

4.3 Operaţii cu numere reale În acest subcapitol sunt explicate operațiile cu numere reale care implică radicali. Operațiile cu celelalte tipuri de numere reale au fost explicate anterior, la capitolele despre numere întregi și raționale. a. Adunarea și scăderea Adunarea și scăderea numerelor cu radical se poate realiza doar dacă cele două numere au același radical. Pentru numere mai mari sub radical trebuie utilizat algoritmul scoaterii de sub radical prezentat anterior. Pentru a aduna sau scăderea numerelor cu radical se păstrează radicalul comun și se fac operațiile între numerele ce însoțesc radicalul:    23+33=532\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}   −23+33=3-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} Nu se pot efectua operațiile dacă radicalii sunt diferiți. Exemplu:    23+322\sqrt{3} + 3\sqrt{2} nu se poate efectua. b. Înmulțirea și împărțirea Înmulțirea și împărțirea numerelor cu radical se poate realiza chiar dacă cele două numere nu au același radical. Pentru a înmulți sau împărți numerelor cu radical se înmulțesc sau împart numerele ce însoțesc radicalul între ele și cele din radical între ele.    23⋅33=69=182\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{9} = 18   −23⋅352=−6152=−315-2\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = -\frac{6\sqrt{15}}{2} = -3\sqrt{15} c. Ridicarea la putere Se realizează ridicând la putere atât numerele ce însoțesc radicalul cât și cele de sub radical. Exemplu:    (23)2=22⋅(√3)2=4⋅3=12(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (√3)^2 = 4 \cdot 3 = 12 Atenție foarte mare la existența (sau lipsa) parantezelor:    2(3)2=2⋅9=2⋅3=62 (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 Așadar:   (23)2≠2(3)2(2\sqrt{3})^2 \neq 2 (\sqrt{3})^2
d. Raţionalizarea numitorului Există două tipuri de raționalizări:    • dacă numitorul este compus dintr-un produs de numere, în acest caz se amplifică doar cu radicalul.      3)123=329=36{}^{\sqrt{3})} \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{3}}{6}    • dacă numitorul este compus dintr-o scădere sau adunare de numere reale, în acest caz se amplifică cu conjugatul. Conjugatul lui a-b este a+b și viceversa (conjugatul lui a+b este a-b). După amplificare în dreptul numitorului avem întotdeauna  а2−b2а^2-b^2.    2+3)12−3=1(2+3)22−32=2+34−3=2+31{}^{2+\sqrt{3})} \frac{ 1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{2^2-\sqrt{3}^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1}    2−3)12+3=1(2−3)22−32=2−34−3=2−31{}^{2-\sqrt{3})} \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1(2-\sqrt{3})}{2^2-\sqrt{3}^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1}
e. Modulul unui număr real În matematică, modulul (valoarea absolută) a unui număr real  xx, notat ∣x∣|x|, este numărul real fără semn. Exemplu:    ∣−3∣=3|-3|=3    ∣3∣=3|3|=3 Pentru a afla valoarea absolută a unui număr real compus de forma  а−bcа-b \sqrt{c}  sau  аb−cа \sqrt{b}-c  se calculează diferența pătratelor termenilor pentru a determina semnul. Dacă numărul este pozitiv rezultatul rămâne la fel, iar dacă numărul este negativ rezultatul își schimbă semnul. Exemplu: ∣3−22∣=3−22|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}, deoarece  32−(22)2=9−8=1>03^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 > 0 ∣23−4∣=−(23−4)=−23+4|2\sqrt{3} - 4| = -(2\sqrt{3} - 4) = -2\sqrt{3} + 4, deoarece  (23)2−42=12−16=−4<0(2\sqrt{3})^2 - 4^2 = 12 - 16 = -4 < 0 ∣5+2∣=5+2|5 + \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2}, pentru că ambele fiind pozitive, numărul este pozitiv ∣−2−2∣=−(−2−2)=2+2|-2 - \sqrt{2}| = -(-2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}, pentru că ambele fiind negative, numărul este negativ
f. Compararea şi ordonarea numerelor reale Pentru a compara două numere reale există două metode:    • metoda 1: se compară pătratele acestora    • metoda 2: se scoate de sub radical folosind algoritmul și folosim valoarea aproximativă a numărului. De reținut:    • valorile aproximative ale radicalilor des întâlniți sunt următoarele:    2≈1,41\sqrt{2} \approx 1,41    3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73    5≈2,23\sqrt{5} \approx 2,23 g. Formula radicalului dublu Pentru a transforma radicalul de forma а±b\sqrt{а \pm \sqrt{b}}  într-o sumă sau diferență de doi radicali simpli, se procedează astfel:    • se calculează  cc:      c2=а2−bc^2 =а^2 - b  sau  c=а2−bc =\sqrt{а^2 - b}    • radicalul devine:      а±b=а+c2±а−c2\sqrt{а \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{а + c}{2}} \pm \sqrt{\frac{а - c}{2}} Exemplu: 3+22=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}= а=3а=3, b=22b=2\sqrt{2}  ⇒\Rightarrow c2=а2−b=32−8=1c^2 = а^2 - b =3^2 - 8 = 1 3+22=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}= 3+12+3−12\sqrt{\frac{3 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 1}{2}} =2+1=1+2= \sqrt{2} + \sqrt{1} = 1 + \sqrt{2}