Mulţimea numerelor reale

4.2 Scoaterea și introducerea factorilor sub radical a. Scoaterea factorilor de sub radical Pentru numerele care nu sunt pătrate perfecte, scoaterea de sub radical se face ca în exemplele de mai jos. Etape: 1. Se descompune numărul sub radical în factori primi. 2. Se fac grupe de câte 2 factori identici (adică câte două numere egale). 3. Din fiecare grup de 2 factori identici, se extrage un factor în afara radicalului.

\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ \hline 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ \hline 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \\ \\ \end{array}\\[6pt] \sqrt{48} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}

\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ \hline 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ \hline 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 3 \\ \\ \\ \end{array}\\[6pt] \sqrt{180} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}

Pentru numere cu puteri când se scoate de sub radical puterea se injumătățește.

\sqrt{2^6} = 2^3

\sqrt{2^7 \cdot 3^3}

= \sqrt{2^6 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3}

= 2^3 \cdot 3 \sqrt{2 \cdot 3}

= 24\sqrt{6}

Scoaterea factorilor de sub radical este esențială pentru adunarea și scăderea numerele cu radical. Observații: • Scoaterea unui factor de sub radical simplifică expresia, dar dacă numărul nu este pătrat perfect, radicalul rămâne sub formă de rădăcină. • Factorii pătrați perfecți pot fi scoși exact, iar restul rămâne sub radical. • Exersarea ambelor situații ajută la calculul rapid și corect al radicalilor și la compararea valorilor acestora.

b. Introducerea factorilor sub radical La introducerea sub radical puterea unui număr se dublează. Exemplu:

4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{48}

6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{180}

2^3 = \sqrt{2^6} = 8

2^3\sqrt{3} = \sqrt{2^6 \cdot 3} = \sqrt{192}

Observații: • Introducerea sub radical se face doar pentru numere pozitive. • Este utilă atunci când dorim să comparăm sau să adunăm radicali. • Forma cu radical este uneori mai convenabilă în calcule.