Mulţimea numerelor reale

4.1 Rădăcina pătrată a unui număr a. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect Pentru orice număr real se poate scrie: $\sqrt{x^2} =|x|$. Exemplu: $\sqrt{1}=1;\ \sqrt{4}=2;\ \sqrt{9}=3;\ \sqrt{16}=4;\ \sqrt{25}=5;$ $\sqrt{36}=6; \sqrt{49}=7; \sqrt{64}=8;\sqrt{81}=9;\sqrt{100}=10$ Din exemplu de mai sus putem evidenția primele zece pătrare perfecte nenule: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. b. Algoritmul de extragere a radicalului Algoritmul de extragere a radicalului pentru un număr care nu este pătrat perfect este prezentat mai jos. Acest algoritm ajută la aproximarea radicalului cu numărul de zecimale dorit. Se ia ca exemplu numărul 12345 care se poate scrie ca un număr infinit de zecimale: 12345,0… 12345,00… 12345,000…    12345,0000… Etc

Etape: 1. Se împarte numărul în grupe de câte 2 cifre:    • Pentru numerele întregi, gruparea se face de la dreapta la stânga.    • Pentru numerele zecimale , separatorul zecimal va fi punctul de start: se grupează de la separatorul zecimal la stânga și de la separatorul zecimal la dreapta. 2. Se caută un număr a cărui pătrat să fie mai mic sau egal cu prima grupă din stânga.    • În exemplul de mai sus, prima grupă este  $1,$ iar  $1^2 = 1$. 3. Se trece numărul găsit în dreapta sus, iar pătratul lui se scade din prima grupă ($1-1=0$). 4. Se coboară următoarea grupă lângă rezultatul obținut (de exemplu 23, astfel încât numărul devine 23). 5. Se dublează numărul din dreapta sus ($1 \times 2 = 2$).    • Se caută o cifră x care adăugată în dreapta numărului dublat și apoi înmulțită cu numărul format să fie cel mai mare număr mai mic sau egal cu numărul din stânga:        $20 \times 0 = 0$ $\Rightarrow$ prea mic        $21 \times 1 = 21$ $\Rightarrow$ bun        $22 \times 2 = 44$ $\Rightarrow$ prea mare 6. Se scrie cifra găsită ($1$) în dreapta sus lângă prima cifră, iar rezultatul se scade din numărul din stânga ($23-21=2$).    • Se coboară următoarea grupă lângă rezultat (45 → 245). 7. Se reia pasul 5:    • Se dublează numărul din dreapta sus ($11 \times 2 = 22$).    • Se caută cifra următoare astfel încât numărul format înmulțit cu cifra adăugată să fie ≤ numărul din stânga ($221 \times 1 = 221$). 8. Se scrie cifra găsită ($1$) în dreapta sus, iar rezultatul se scade ($245-221=24$). 9. Pentru numerele zecimale:    • După virgulă, se formează grupe de câte 2 cifre, de la stânga la dreapta.    • Dacă numărul nu este zecimal, dar dorim aproximarea rădăcinii, se adaugă zerouri după virgulă.    • Se coboară prima grupă după virgulă, se pune virgulă în numărul din dreapta sus și se reiau pașii 5 și 6. 10. Se repetă pașii 5–6 până se obține numărul de zecimale dorit. Alte exemple de extragere a radicalului sunt prezentate mai jos.