Powered by Google Translate

Mulţimea numerelor reale

4.1 Rădăcina pătrată a unui număr a. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect Pentru orice număr real se poate scrie: x2=∣x∣\sqrt{x^2} =|x|. Exemplu: 1=1; 4=2; 9=3; 16=4; 25=5;\sqrt{1}=1;\ \sqrt{4}=2;\ \sqrt{9}=3;\ \sqrt{16}=4;\ \sqrt{25}=5; 36=6;49=7;64=8;81=9;100=10\sqrt{36}=6; \sqrt{49}=7; \sqrt{64}=8;\sqrt{81}=9;\sqrt{100}=10 Din exemplu de mai sus putem evidenția primele zece pătrare perfecte nenule: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. b. Algoritmul de extragere a radicalului Algoritmul de extragere a radicalului pentru un număr care nu este pătrat perfect este prezentat mai jos. Acest algoritm ajută la aproximarea radicalului cu numărul de zecimale dorit. Se ia ca exemplu numărul 12345 care se poate scrie ca un număr infinit de zecimale: 12345,0… 12345,00… 12345,000…    12345,0000… Etc
Etape: 1. Se împarte numărul în grupe de câte 2 cifre:    • Pentru numerele întregi, gruparea se face de la dreapta la stânga.    • Pentru numerele zecimale , separatorul zecimal va fi punctul de start: se grupează de la separatorul zecimal la stânga și de la separatorul zecimal la dreapta. 2. Se caută un număr a cărui pătrat să fie mai mic sau egal cu prima grupă din stânga.    • În exemplul de mai sus, prima grupă este  1,1, iar  12=11^2 = 1. 3. Se trece numărul găsit în dreapta sus, iar pătratul lui se scade din prima grupă (1−1=01-1=0). 4. Se coboară următoarea grupă lângă rezultatul obținut (de exemplu 23, astfel încât numărul devine 23). 5. Se dublează numărul din dreapta sus (1×2=21 \times 2 = 2).    • Se caută o cifră x care adăugată în dreapta numărului dublat și apoi înmulțită cu numărul format să fie cel mai mare număr mai mic sau egal cu numărul din stânga:        20×0=020 \times 0 = 0 ⇒\Rightarrow prea mic        21×1=2121 \times 1 = 21 ⇒\Rightarrow bun        22×2=4422 \times 2 = 44 ⇒\Rightarrow prea mare 6. Se scrie cifra găsită (11) în dreapta sus lângă prima cifră, iar rezultatul se scade din numărul din stânga (23−21=223-21=2).    • Se coboară următoarea grupă lângă rezultat (45 → 245). 7. Se reia pasul 5:    • Se dublează numărul din dreapta sus (11×2=2211 \times 2 = 22).    • Se caută cifra următoare astfel încât numărul format înmulțit cu cifra adăugată să fie ≤ numărul din stânga (221×1=221221 \times 1 = 221). 8. Se scrie cifra găsită (11) în dreapta sus, iar rezultatul se scade (245−221=24245-221=24). 9. Pentru numerele zecimale:    • După virgulă, se formează grupe de câte 2 cifre, de la stânga la dreapta.    • Dacă numărul nu este zecimal, dar dorim aproximarea rădăcinii, se adaugă zerouri după virgulă.    • Se coboară prima grupă după virgulă, se pune virgulă în numărul din dreapta sus și se reiau pașii 5 și 6. 10. Se repetă pașii 5–6 până se obține numărul de zecimale dorit. Alte exemple de extragere a radicalului sunt prezentate mai jos.
4.2 Scoaterea și introducerea factorilor sub radical a. Scoaterea factorilor de sub radical Pentru numerele care nu sunt pătrate perfecte, scoaterea de sub radical se face ca în exemplele de mai jos. Etape: 1. Se descompune numărul sub radical în factori primi. 2. Se fac grupe de câte 2 factori identici (adică câte două numere egale). 3. Din fiecare grup de 2 factori identici, se extrage un factor în afara radicalului.
48224212262331}→2}→248=2⋅23=43\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ \hline 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ \hline 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \\ \\ \end{array}\\[6pt] \sqrt{48} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}
1802902453153551}→2}→3180=2⋅35=65\begin{array}{r|l} 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ \hline 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ \hline 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \begin{array}{l} \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 2 \\ \left. \begin{array}{c} \\ \\ \end{array} \right\} \rightarrow 3 \\ \\ \\ \end{array}\\[6pt] \sqrt{180} = 2 \cdot 3\sqrt{5} = 6\sqrt{5}
Pentru numere cu puteri când se scoate de sub radical puterea se injumătățește.    26=23\sqrt{2^6} = 2^3    27⋅33\sqrt{2^7 \cdot 3^3}=26⋅2⋅32⋅3= \sqrt{2^6 \cdot 2 \cdot 3^2 \cdot 3}=23⋅32⋅3= 2^3 \cdot 3 \sqrt{2 \cdot 3}=246= 24\sqrt{6} Scoaterea factorilor de sub radical este esențială pentru adunarea și scăderea numerele cu radical. Observații:      • Scoaterea unui factor de sub radical simplifică expresia, dar dacă numărul nu este pătrat perfect, radicalul rămâne sub formă de rădăcină.      • Factorii pătrați perfecți pot fi scoși exact, iar restul rămâne sub radical.      • Exersarea ambelor situații ajută la calculul rapid și corect al radicalilor și la compararea valorilor acestora.
b. Introducerea factorilor sub radical La introducerea sub radical puterea unui număr se dublează. Exemplu:    43=42⋅3=484\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{48}    65=62⋅5=1806\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{180}    23=26=82^3 = \sqrt{2^6} = 8    233=26⋅3=1922^3\sqrt{3} = \sqrt{2^6 \cdot 3} = \sqrt{192} Observații:      • Introducerea sub radical se face doar pentru numere pozitive.      • Este utilă atunci când dorim să comparăm sau să adunăm radicali.      • Forma cu radical este uneori mai convenabilă în calcule.
4.3 Operaţii cu numere reale În acest subcapitol sunt explicate operațiile cu numere reale care implică radicali. Operațiile cu celelalte tipuri de numere reale au fost explicate anterior, la capitolele despre numere întregi și raționale. a. Adunarea și scăderea Adunarea și scăderea numerelor cu radical se poate realiza doar dacă cele două numere au același radical. Pentru numere mai mari sub radical trebuie utilizat algoritmul scoaterii de sub radical prezentat anterior. Pentru a aduna sau scăderea numerelor cu radical se păstrează radicalul comun și se fac operațiile între numerele ce însoțesc radicalul:    23+33=532\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}   −23+33=3-2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = \sqrt{3} Nu se pot efectua operațiile dacă radicalii sunt diferiți. Exemplu:    23+322\sqrt{3} + 3\sqrt{2} nu se poate efectua. b. Înmulțirea și împărțirea Înmulțirea și împărțirea numerelor cu radical se poate realiza chiar dacă cele două numere nu au același radical. Pentru a înmulți sau împărți numerelor cu radical se înmulțesc sau împart numerele ce însoțesc radicalul între ele și cele din radical între ele.    23⋅33=69=182\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{9} = 18   −23⋅352=−6152=−315-2\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{5}}{2} = -\frac{6\sqrt{15}}{2} = -3\sqrt{15} c. Ridicarea la putere Se realizează ridicând la putere atât numerele ce însoțesc radicalul cât și cele de sub radical. Exemplu:    (23)2=22⋅(√3)2=4⋅3=12(2\sqrt{3})^2 = 2^2 \cdot (√3)^2 = 4 \cdot 3 = 12 Atenție foarte mare la existența (sau lipsa) parantezelor:    2(3)2=2⋅9=2⋅3=62 (\sqrt{3})^2 = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6 Așadar:   (23)2≠2(3)2(2\sqrt{3})^2 \neq 2 (\sqrt{3})^2
d. Raţionalizarea numitorului Există două tipuri de raționalizări:    • dacă numitorul este compus dintr-un produs de numere, în acest caz se amplifică doar cu radicalul.      3)123=329=36{}^{\sqrt{3})} \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{3}}{6}    • dacă numitorul este compus dintr-o scădere sau adunare de numere reale, în acest caz se amplifică cu conjugatul. Conjugatul lui a-b este a+b și viceversa (conjugatul lui a+b este a-b). După amplificare în dreptul numitorului avem întotdeauna  a2−b2a^2-b^2.    2+3)12−3=1(2+3)22−32=2+34−3=2+31{}^{2+\sqrt{3})} \frac{ 1}{2-\sqrt{3}} = \frac{1(2+\sqrt{3})}{2^2-\sqrt{3}^2} = \frac{2+\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2+\sqrt{3}}{1}    2−3)12+3=1(2−3)22−32=2−34−3=2−31{}^{2-\sqrt{3})} \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \frac{1(2-\sqrt{3})}{2^2-\sqrt{3}^2} = \frac{2-\sqrt{3}}{4-3} = \frac{2-\sqrt{3}}{1}
e. Modulul unui număr real În matematică, modulul (valoarea absolută) a unui număr real  xx, notat ∣x∣|x|, este numărul real fără semn. Exemplu:    ∣−3∣=3|-3|=3    ∣3∣=3|3|=3 Pentru a afla valoarea absolută a unui număr real compus de forma  a−bca-b \sqrt{c}  sau  ab−ca \sqrt{b}-c  se calculează diferența pătratelor termenilor pentru a determina semnul. Dacă numărul este pozitiv rezultatul rămâne la fel, iar dacă numărul este negativ rezultatul își schimbă semnul. Exemple: ∣3−22∣=3−22|3 - 2\sqrt{2}| = 3 - 2\sqrt{2}, deoarece  32−(22)2=9−8=1>03^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - 8 = 1 > 0 ∣23−4∣=−(23−4)=−23+4|2\sqrt{3} - 4| = -(2\sqrt{3} - 4) = -2\sqrt{3} + 4, deoarece  (23)2−42=12−16=−4<0(2\sqrt{3})^2 - 4^2 = 12 - 16 = -4 < 0 ∣5+2∣=5+2|5 + \sqrt{2}| = 5 + \sqrt{2}, pentru că ambele fiind pozitive, numărul este pozitiv ∣−2−2∣=−(−2−2)=2+2|-2 - \sqrt{2}| = -(-2 - \sqrt{2}) = 2 + \sqrt{2}, pentru că ambele fiind negative, numărul este negativ
f. Compararea şi ordonarea numerelor reale Pentru a compara două numere reale există două metode:    • metoda 1: se compară pătratele acestora    • metoda 2: se scoate de sub radical folosind algoritmul și folosim valoarea aproximativă a numărului. De reținut:    • valorile aproximative ale radicalilor des întâlniți sunt următoarele:    2≈1,41\sqrt{2} \approx 1,41    3≈1,73\sqrt{3} \approx 1,73    5≈2,23\sqrt{5} \approx 2,23 g. Formula radicalului dublu Pentru a transforma radicalul de forma a±b\sqrt{a \pm \sqrt{b}}  într-o sumă sau diferență de doi radicali simpli, se procedează astfel:    • se calculează  cc:      c2=a2−bc^2 =a^2 - b  sau  c=a2−bc =\sqrt{a^2 - b}    • radicalul devine:      a±b=a+c2±a−c2\sqrt{a \pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a + c}{2}} \pm \sqrt{\frac{a - c}{2}} Exemplu: 3+22=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}= a=3a=3, b=22b=2\sqrt{2}  ⇒\Rightarrow c2=a2−b=32−8=1c^2 = a^2 - b =3^2 - 8 = 1 3+22=\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}= 3+12+3−12\sqrt{\frac{3 + 1}{2}} + \sqrt{\frac{3 - 1}{2}} =2+1=1+2= \sqrt{2} + \sqrt{1} = 1 + \sqrt{2}
4.4 Intervale Un interval reprezintă o mulțime infinită și mărginită care conține toate numerele reale situate între două numere reale date. Mulțimea poate fi și nemărginită dacă unul dintre capetele intervalului este ±∞. Paranteza care definește un interval poate fi:    • paranteza rotundă simbolizează intervalul deschis (nu conține valoarea din capăt)    • paranteza dreaptă simbolizează intervalul închis (conține valoarea din capăt) a. Intervale mărginite    (a,b)=x∈R/a<x<b(a,b)={x \in R / a<x<b}  interval deschis în ambele capete    [a,b]=x∈R/a≤x≤b[a,b]={x \in R / a≤x≤b}  interval închis în ambele capete    [a,b)=x∈R/a≤x<b[a,b)={x \in R / a≤x<b}  interval închis la stânga și deschis la dreapta    (a,b]=x∈R/a<x≤b(a,b]={x \in R / a<x≤b}  interval deschis la stânga și închis la dreapta b. Intervale nemărginite    (a,+∞)=x∈R/a<x(a,+∞)={x \in R / a<x}  interval deschis la stânga și nemărginit la dreapta    (−∞,a)=x∈R/x<a(-∞,a)={x \in R / x<a}  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta    [a,+∞)=x∈R/a≤x[a,+∞)={x \in R / a≤x}  interval închis la stânga și nemărginit la dreapta    (−∞,a]=x∈R/x≤a(-∞,a]={x \in R / x≤a}  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta Modulul unei necunoscute reale poate fi scris ca un interval:    ∣x∣<a|x|<a ⇒\Rightarrow −a<x<a-a<x<a ⇒\Rightarrow xϵ(−a,a)xϵ(-a,a) , pentru a>0    ∣x∣≤a|x|≤a ⇒\Rightarrow −a≤x≤a-a≤x≤a ⇒\Rightarrow xϵ[−a,a]xϵ[-a,a], pentru a>0    ∣x∣>a|x|>a ⇒\Rightarrow x<−ax<-a  și  x>ax>a ⇒\Rightarrow xϵ(−∞,−a)∪(a,+∞)xϵ(-∞,-a)∪(a,+∞), pentru a>0    ∣x∣≥a|x|≥a ⇒\Rightarrow x≤−ax≤-a  și  x≥ax≥a ⇒\Rightarrow xϵ[−∞,−a]∪[a,+∞]xϵ[-∞,-a]∪[a,+∞], pentru a>0 c. Operații cu intervale    • reuniunea a două intervale este formată din numerele care aparțin celor două intervale (toate numerele luate o singură dată)    • intersecția a două intervale este formată din numerele care sunt în ambele intervale (numerele comune).    • diferența a două intervale este formată din numerele care aparțin primului intervalul și nu aparțin celui de al doilea interval. Exemplu:    [−2,5]∪(1,7)=[−2,7)[-2,5]∪(1,7)=[-2,7)    [−2,5]∩(1,7)=(1,5][-2,5]∩(1,7)=(1,5]    [−2,5]∖(1,7)=[−2,1][-2,5]∖(1,7)=[-2,1]    (1,7)∖[−2,5]=(5,7)(1,7)∖[-2,5]=(5,7) De reținut:      • Intervalele descriu mulțimi de numere reale și sunt folosite frecvent în inecuații.      • Tipul parantezelor arată dacă capetele intervalului sunt incluse sau nu.      • Transformarea modulului în intervale și operațiile cu intervale ajută la determinarea corectă a soluțiilor.
4.5 Calculul mediilor a. Media aritmetică   Media aritmetică a două numere se calculează prin adunarea valorilor și împărțirea sumei la numărul de valori. Este cea mai folosită medie în viața de zi cu zi și în școală.   Formula:      ma=a+b2m_a = \frac{a + b}{2}   Exemplu: Fie a=8 și b=12.   ma=8+122=10m_a = \frac{8 + 12}{2} = 10   Note:    - Media aritmetică reflectă valoarea medie a unui set de date și este utilă când toate valorile au aceeași importanță.    - În general, media aritmetică a notelor unui elev se folosește pentru a evalua performanța generală. b. Media aritmetică ponderată   Media aritmetică ponderată se folosește atunci când valorile nu au aceeași importanță, ci fiecare are o pondere. Este foarte utilizată la școală atunci când unele note contează mai mult decât altele (de exemplu, tezele).   Formula:        mp=a⋅p1+b⋅p2p1+p2m_p = \frac{a \cdot p_1 + b \cdot p_2}{p_1 + p_2}   unde  p1p_1  și  p2p_2  reprezintă ponderile (importanța fiecărei valori).   Exemplu:   La un test, într-o clasă s-au obținut următoarele note:      3 elevi au luat nota 5,      5 elevi au luat nota 7,      2 elevi au luat nota 10.   Să se calculeze media notelor clasei.   Media aritmetică ponderată este:   mp=5⋅3+7⋅5+10⋅23+5+2m_p = \frac{5 \cdot 3 + 7 \cdot 5 + 10 \cdot 2}{3 + 5 + 2}   mp=15+35+2010=7010=7m_p = \frac{15 + 35 + 20}{10} = \frac{70}{10} = 7   Răspuns: Media clasei este 7.   Observație:      - Nota 7 influențează cel mai mult media deoarece este obținută de cei mai mulți elevi.      - Media este o valoare reprezentativă pentru nivelul general al clasei. c. Media geometrică   Media geometrică este folosită mai ales pentru rate de creștere sau proporții. Se obține prin calculul rădăcinii pătrate a produsului valorilor.   Formula:      mg=a⋅bm_g = \sqrt{a \cdot b}   Exemplu: Fie a=8 și b=12.   mg=8⋅12=96≈9.798m_g = \sqrt{8 \cdot 12} = \sqrt{96} \approx 9.798   Notă: media geometrică este întotdeauna mai mică sau egală cu media aritmetică și nu poate fi calculată pentru valori negative.   
d. Media armonică   Media armonică este utilă atunci când valorile reprezintă rate sau viteze. Se calculează inversul mediei inverselor valorilor.   Formula:      mh=21a+1b=2aba+bm_h = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a + b}   Exemplu: Fie a=8 și b=12.   mh=2⋅8⋅128+12=19220=9.6m_h = \frac{2 \cdot 8 \cdot 12}{8 + 12} = \frac{192}{20} = 9.6   Notă: Media armonică este mai mică decât media geometrică și media aritmetică și este indicată pentru probleme cu rate sau viteze medii. e. Inegalitatea mediilor matematice   Pentru orice două numere pozitive  aa  și  bb,  inegalitatea mediilor spune că:  
mh≤mg≤mam_h \le m_g \le m_a
   adică:      - media armonică ≤ media geometrică ≤ media aritmetică   Exemplu:   Fie a=8 și b=12:   mh=9.6m_h = 9.6,  mg≈9.798m_g \approx 9.798,  ma=10m_a = 10   Se observă că inegalitatea este respectată.