Mulţimea numerelor reale

4.1 Rădăcina pătrată a unui număr a. Rădăcina pătrată a unui număr natural pătrat perfect Pentru orice număr real se poate scrie: $\sqrt{x^2} =|x|$. Exemplu: $\sqrt{1}=1;\ \sqrt{4}=2;\ \sqrt{9}=3;\ \sqrt{16}=4;\ \sqrt{25}=5;$ $\sqrt{36}=6; \sqrt{49}=7; \sqrt{64}=8;\sqrt{81}=9;\sqrt{100}=10$ Din exemplu de mai sus putem evidenția primele zece pătrare perfecte nenule: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. b. Algoritmul de extragere a radicalului Algoritmul de extragere a radicalului pentru un număr care nu este pătrat perfect este prezentat mai jos. Acest algoritm ajută la aproximarea radicalului cu numărul de zecimale dorit. Se ia ca exemplu numărul 12345 care se poate scrie ca un număr infinit de zecimale: 12345,0… 12345,00… 12345,000…    12345,0000… Etc

Etape: 1. Se împarte numărul în grupe de câte 2 cifre:    • Pentru numerele întregi, gruparea se face de la dreapta la stânga.    • Pentru numerele zecimale , separatorul zecimal va fi punctul de start: se grupează de la separatorul zecimal la stânga și de la separatorul zecimal la dreapta. 2. Se caută un număr a cărui pătrat să fie mai mic sau egal cu prima grupă din stânga.    • În exemplul de mai sus, prima grupă este  $1,$ iar  $1^2 = 1$. 3. Se trece numărul găsit în dreapta sus, iar pătratul lui se scade din prima grupă ($1-1=0$). 4. Se coboară următoarea grupă lângă rezultatul obținut (de exemplu 23, astfel încât numărul devine 23). 5. Se dublează numărul din dreapta sus ($1 \times 2 = 2$).    • Se caută o cifră x care adăugată în dreapta numărului dublat și apoi înmulțită cu numărul format să fie cel mai mare număr mai mic sau egal cu numărul din stânga:        $20 \times 0 = 0$ $\Rightarrow$ prea mic        $21 \times 1 = 21$ $\Rightarrow$ bun        $22 \times 2 = 44$ $\Rightarrow$ prea mare 6. Se scrie cifra găsită ($1$) în dreapta sus lângă prima cifră, iar rezultatul se scade din numărul din stânga ($23-21=2$).    • Se coboară următoarea grupă lângă rezultat (45 → 245). 7. Se reia pasul 5:    • Se dublează numărul din dreapta sus ($11 \times 2 = 22$).    • Se caută cifra următoare astfel încât numărul format înmulțit cu cifra adăugată să fie ≤ numărul din stânga ($221 \times 1 = 221$). 8. Se scrie cifra găsită ($1$) în dreapta sus, iar rezultatul se scade ($245-221=24$). 9. Pentru numerele zecimale:    • După virgulă, se formează grupe de câte 2 cifre, de la stânga la dreapta.    • Dacă numărul nu este zecimal, dar dorim aproximarea rădăcinii, se adaugă zerouri după virgulă.    • Se coboară prima grupă după virgulă, se pune virgulă în numărul din dreapta sus și se reiau pașii 5 și 6. 10. Se repetă pașii 5–6 până se obține numărul de zecimale dorit. Alte exemple de extragere a radicalului sunt prezentate mai jos.

4.4 Intervale Un interval reprezintă o mulțime infinită și mărginită care conține toate numerele reale situate între două numere reale date. Mulțimea poate fi și nemărginită dacă unul dintre capetele intervalului este ±∞. Paranteza care definește un interval poate fi:    • paranteza rotundă simbolizează intervalul deschis (nu conține valoarea din capăt)    • paranteza dreaptă simbolizează intervalul închis (conține valoarea din capăt) a. Intervale mărginite    $(a,b)={x \in R / a<x<b}$  interval deschis în ambele capete    $[a,b]={x \in R / a≤x≤b}$  interval închis în ambele capete    $[a,b)={x \in R / a≤x<b}$  interval închis la stânga și deschis la dreapta    $(a,b]={x \in R / a<x≤b}$  interval deschis la stânga și închis la dreapta b. Intervale nemărginite    $(а,+∞)={x \in R / а<x}$  interval deschis la stânga și nemărginit la dreapta    $(-∞,а)={x \in R / x<а}$  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta    $[а,+∞)={x \in R / а≤x}$  interval închis la stânga și nemărginit la dreapta    $(-∞,а]={x \in R / x≤а}$  interval nemărginit la stânga și deschis la dreapta Modulul unei necunoscute reale poate fi scris ca un interval:    $|x|<а$ $\Rightarrow$ $-а<x<а$ $\Rightarrow$ $xϵ(-а,а)$ , pentru а>0    $|x|≤а$ $\Rightarrow$ $-а≤x≤а$ $\Rightarrow$ $xϵ[-а,а]$, pentru а>0    $|x|>а$ $\Rightarrow$ $x<-а$  și  $x>а$ $\Rightarrow$ $xϵ(-∞,-а)∪(а,+∞)$, pentru а>0    $|x|≥а$ $\Rightarrow$ $x≤-а$  și  $x≥а$ $\Rightarrow$ $xϵ[-∞,-а]∪[а,+∞]$, pentru а>0 c. Operații cu intervale    • reuniunea a două intervale este formată din numerele care aparțin celor două intervale (toate numerele luate o singură dată)    • intersecția a două intervale este formată din numerele care sunt în ambele intervale (numerele comune).    • diferența a două intervale este formată din numerele care aparțin primului intervalul și nu aparțin celui de al doilea interval. Exemplu:    $[-2,5]∪(1,7)=[-2,7)$    $[-2,5]∩(1,7)=(1,5]$    $[-2,5]∖(1,7)=[-2,1]$    $(1,7)∖[-2,5]=(5,7)$ De reținut:      • Intervalele descriu mulțimi de numere reale și sunt folosite frecvent în inecuații.      • Tipul parantezelor arată dacă capetele intervalului sunt incluse sau nu.      • Transformarea modulului în intervale și operațiile cu intervale ajută la determinarea corectă a soluțiilor.