Powered by Google Translate

Mulțimea numerelor raționale

3.1 Fracțiile ordinare și fracțiile zecimale a. Fracțiile ordinare. Amplificarea și simplificarea fracțiilor ordinare Fracția ordinară este o pereche de două numere întregi scrisă sub forma  ab\frac{a}b,  unde b este nenul. Cele două numere care formează o fracție ordinară sunt:    • numărătorul (a) – se află deasupra liniei de fracție    • numitorul (b) – se află sub linia de fracție Fracțiile ordinare pot fi:    • subunitare (fracție proprie), în care numărătorul este mai mic decât numitorul      Exemplu: 23,510,15101\frac{2}{3},\frac{5}{10},\frac{15}{101}    • echiunitare (fracție egală 1), în care numărătorul este egal cu numitorul      Exemplu: 22,55,1515\frac{2}{2},\frac{5}{5},\frac{15}{15}    • supraunitare (fracție improprie), în care numărătorul este mai mare decât numitorul      Exemplu: 32,105,10115\frac{3}{2},\frac{10}{5},\frac{101}{15} Două fracții sunt echivalente dacă se verifică următoarea relație:
ab=cd⟺a⋅d=b⋅c\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\Longleftrightarrow a \cdot d = b \cdot c
unde: a și d se numesc termeni extremi b și c se numesc termeni mezi Fracțiile echivalente se obțin prin două metode: amplificare și simplificare. Amplificarea fracțiilor ordinare se face înmulțind ambii termeni (numărătorul și numitorul) cu același număr.       ⁣n)ab=a⋅nb⋅n{}^{\!n)}\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} Simplificarea fracțiilor ordinare se face împărțind ambii termeni (numărătorul și numitorul) cu același număr.      ab ⁣(n=a:nb:n\frac{a}{b}^{\!(n} = \frac{a : n}{b : n} O fracție care nu se mai poate simplifica se numeste ireductibilă. De reținut:    • fracția cu numitor 100 se numește procent (15100=15%)(\frac{15}{100}=15\%)    • numerele naturale și cele întregi se pot scrie ca fracție cu numitor 1 (2=21)(2=\frac{2}1)
b. Fracțiile zecimale. Transformările fracțiilor zecimale în fracții ordinare Fracția zecimală este un număr de forma  abc,def…‾\overline{abc,def\ldots} și poate avea un număr finit sau infinit de zecimale. Fracțiile zecimale pot fi:    • fracțiile zecimale finite (terminating decimals) :3,14=314100:3,14= \frac{314}{100}, se iau toate cifrele după virgulă ca numărător și se pune ca numitor 1 urmat de tot atâtea zerouri câte cifre sunt după virgulă. Exemple:    0,75=751000,75 = \frac{75}{100}    2,4=24102,4 = \frac{24}{10}    5,125=512510005,125 = \frac{5125}{1000}    • fracțiile zecimale periodice simple (pure recurring decimals) :3,(14)=314−399:3,(14)= \frac{314-3}{99}, se scrie numărul fără virgulă minus partea întreagă, iar numitorul este tot atâtea 9 câte cifre are perioada. Exemple:    0,(3)=3−09=39=130,(3) = \frac{3-0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}    2,(7)=27−29=2592,(7) = \frac{27-2}{9} = \frac{25}{9}    5,(12)=512−599=507995,(12) = \frac{512-5}{99} = \frac{507}{99}    • fracțiile zecimale periodice mixte (mixed recurring decimals) :3,1(4)=314−3190:3,1(4)= \frac{314-31}{90}, se scrie numărul fără virgulă minus partea neperiodică, iar numitorul este format din atâtea 9 câte cifre are perioada și atâtea 0 câte cifre are partea neperiodică. Exemple:    0,1(6)=16−190=1590=160,1(6) = \frac{16-1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}    2,3(45)=2345−23990=2322990=11614952,3(45) = \frac{2345-23}{990} = \frac{2322}{990} = \frac{1161}{495}    5,12(7)=5127−512900=46159005,12(7) = \frac{5127-512}{900} = \frac{4615}{900}
3.2 Operații cu fracții ordinare și zecimale a. Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare Adunarea și scăderea fracțiilor ordinare se realizează aducând la același numitor (prin amplificare). Numitorul comun se află calculând cel mai mic multiplu comun al numitorilor. La adunare/scădere se păstrează numitorul comun, iar între numărători se aplică regulile semnelor explicate la capitolul numerelor întregi. Exemple: 12+13\frac{1}{2} + \frac{1}{3}=3)12+2)13= {}^{3)}\frac{1}{2} + {}^{2)}\frac{1}{3}=36+26= \frac{3}{6} + \frac{2}{6}=56= \frac{5}{6} −12+13-\frac{1}{2} + \frac{1}{3} =−3)12+2)13= -{}^{3)}\frac{1}{2} + {}^{2)}\frac{1}{3}=−36+26= \frac{-3}{6} + \frac{2}{6}=−16= \frac{-1}{6}=−16= -\frac{1}{6} b. Înmulțire și împărțirea fracțiilor ordinare Pentru a înmulți fracțiile ordinare nu este necesar aducerea la același numitor. Numărătorii se înmulțesc între ei și numitorii între ei, ținând cont de regula semnelor de la înmulțirea numerelor întregi. Exemplu: 27⋅1420\frac{2}{7} \cdot \frac{14}{20}=2⋅147⋅20= \frac{2 \cdot 14}{7 \cdot 20}=28140(28= \frac{28}{140}^{(28}=15= \frac{1}{5} Pentru a lucra cu numere mai mici fracțiile trebuie simplificate (numitor cu numărător). Exemplu: 2171⋅14 22010=11⋅210=210(2=15\frac{\overset{1}{\bcancel{2}}}{\underset{1}{\cancel{7}}} \cdot \frac{\cancel{14}^{\,2}}{\underset{10}{\bcancel{20}}} = \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{10} = \frac{2}{10}^{(2} = \frac{1}{5}
Împărțirea fracțiilor ordinare se realizează înmulțind prima fracție cu a doua inversată (ținând cont de regula semnelor de la înmulțirea numerelor întregi). 25:610\frac{2}{5} : \frac{6}{10}=25⋅106= \frac{2}{5} \cdot \frac{10}{6}=2030= \frac{20}{30}=23= \frac{2}{3} De reținut:    • inversul unui număr:       x−1=1xx^{-1} = \frac{1}{x}      (ab)−1=ba\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}      (ab)−n=bnan\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}    • în matematică “din” înseamnă înmulțire:      20% din 50=20100⋅50=20\% \text{ din } 50 = \frac{20}{100} \cdot 50 =      20100⋅501=1000100=10\frac{20}{100} \cdot \frac{50}{1} = \frac{1000}{100} = 10    • pentru fracțiile supraetajate se aplică regula împărțirii:      235=2351=23⋅15=215\frac{\frac{2}{3}}{5} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{15}      527=5127=51⋅72=352\frac{5}{\frac{2}{7}} = \frac{\frac{5}1}{\frac{2}7} = \frac{5}{1} \cdot \frac{7}{2} = \frac{35}{2}
c. Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale finite se efectuează aplicând regulile semnelor de la capitolul numerelor întregi. 3,23 +             3,23- 1,17                1,17 ------                ----- 4,40                2,06 De reținut: lipsa zecimalelor după virgulă reprezintă 0 (zero):       4,4 = 4,40 = 4,400 = 4,4000 = … Adunarea și scăderea fracțiilor zecimale periodice (simple sau mixte) se efectuează transformându-le în fracții ordinare și aplicând regulile corespunzătoare adunării sau scăderii fracțiilor ordinare. d. Înmulțire și împărțirea fracțiilor zecimale Înmulțirea fracțiilor zecimale finite se realizează înmulțind numerele rezultate neconsiderând virgula, iar la final se pune numărul de zecimale (zecimalele se aduna de la stânga la dreapta). Exemplu:    2,32⋅3,1=7,1922,32 \cdot 3,1= 7,192 La înmulțirea sau împărțirea cu multiplii de 10 se mută virgula spre dreapta (la înmulțire) sau spre stânga (la împărțire) cu un număr de poziții egal cu numărul de zerouri. Exemplu:    2,32⋅10=23,22,32 \cdot 10= 23,2    2,322,32 ∶∶ 10=0,23210= 0,232    2,32⋅100=2322,32 \cdot 100= 232    2,322,32 ∶∶ 100=0,0232100= 0,0232 Împărțirea fracțiilor zecimale finite se realizează înmulțind numerele date cu un multiplu de 10, astfel încât împărțitorul să nu conțină zecimale. Exemplu:    12,3212,32 ∶∶ 2,2=123,22,2= 123,2 ∶∶ 22=5,622=5,6 sau    12,3212,32 ∶∶ 2,2=12322,2= 1232 ∶∶ 220=5,6220=5,6 Pentru a înmulți sau împărți fracții zecimale periodice (simple sau mixte) acestea se transformă în fracții ordinare și se aplică regulile corespunzătoare înmulțirii și împărțirii fracțiilor ordinare.
e. Scoaterea întregilor dintr-o fracție Pentru a scoate întregi dintr-o fracție se împarte numărătorul la numitor, câtul obținut reprezintă întregii (valoarea întreagă), iar fracția subunitară de lângă numărul întreg are la numărător restul împărțirii iar numitorul rămâne același ca fracția principală.    a:b=ca:b=c , rest r ⇒\Rightarrow  ab=crb\frac{a}b=c\frac{r}b Exemplu:    13:5=213 : 5 = 2  rest 3 ⇒135=235\Rightarrow \frac{13}5 = 2\frac{3}{5} f. Introducerea întregilor într-o fracție Prin introducerea întregilor într-o fracție se obține o fracție care are același numitor ca fracția dată iar ca numărător este produsul dintre întregi și numitor la care se adună numărătorul inițial.    crb=c⋅b+rb=abc \frac{r}{b} = \frac{c \cdot b + r}{b} = \frac{a}{b} Exemplu:    235=2⋅5+35=1352 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}
g. Aproximări și rotunjiri Aproximările sunt de două tipuri:    • aproximare prin lipsă (este mai mică decât numărul dat)    • aproximare prin adaos (este mai mare decât numărul dat) Așadar: aproximare prin lipsa < numărul dat < aproximare prin adaos Pentru a înțelege mai bine se ia ca exemplu numărul 127,358.    • pentru a aproxima la cifra sutelor încadrăm numărul dat între sute consecutive:         100 < 127 < 200 aproximarea prin lipsa la sute este:  100 aproximarea prin adaos la sute este: 200    • pentru a aproxima la cifra zecilor încadrăm numărul dat între zeci consecutive:         120 < 127 < 130 aproximarea prin lipsa la zeci este:   120 aproximarea prin adaos la zeci este: 130    • pentru a aproxima la cifra zecimilor încadrăm numărul dat între zecimi consecutive:        127,30 < 127,358 < 127,40 aproximarea prin lipsa la zecimi este:   127,3 aproximarea prin adaos la zecimi este: 127,4    • pentru a aproxima la cifra sutimi încadrăm numărul dat între sutimi consecutive:         127,35 < 127,358 < 127,36 aproximarea prin lipsa la sutimi este:   127,35 aproximarea prin adaos la sutimi este: 127,36 Rotunjirea este aproximarea, prin lipsa sau prin adaos, care e cea mai apropiată de numărul dat. Pentru numărul de mai sus:    • rotunjirea la sute este:    100.    • rotunjirea la zeci este:     130.    • rotunjirea la zecimi este: 127,4.    • rotunjirea la sutimi este:  127,36.
h. Proporţii derivate Din proporţia  ab=cd\frac{a}b=\frac{c}d  se pot deduce mai multe proporţii derivate. În continuare sunt prezentate câteva exemple.    • proporţii derivate cu aceeaşi termeni: - termenii extremi se pot inversa între ei                 db=ca\frac{d}b=\frac{c}a - termenii mezi se pot inversa între ei                 ac=bd\frac{a}c=\frac{b}d         - numitorii devin numărători, iar numărătorii devin numitori                 ba=dc\frac{b}a=\frac{d}c    • proporţii derivate cu alţi termeni:        - se pot aduna numărătorii la numitori                 aa+b=cc+d\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}        - se pot aduna numitorii la numărători                 a+bb=c+dd\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}        - se pot scădea numărătorii la numitori                 aa−b=cc−d\frac{a}{a-b} = \frac{c}{c-d}        - se pot scădea numitorii la numărători                 a−bb=c−dd\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}        - se pot aduna numitorii între ei și numărători între ei                 ab=cd=a+cb+d\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a+c}{b+d}
3.3 Mărimi proporţionale a. Mărimi direct proporţionale. Regula de trei simplă Două mărimi sunt direct proporţionale dacă depind în mod direct una de alta, astfel încât dacă una se mărește de un număr de ori, atunci și cealaltă se mărește de același număr de ori, respectiv dacă una se micșorează de un număr de ori, atunci și cealaltă se micșorează de același număr de ori. Mărimile a și b sunt direct proporţionale (proporţionale) cu mărimile x și y dacă: ax=by=k  ⟺  a=kx,  b=ky\frac{a}{x} = \frac{b}{y} = k \iff a = kx,\; b = ky k fiind raportul de proporţionalitate. Regula de 3 simplă pentru mărimile direct proporționale: Aflați cât costă 10 kg de cartofi dacă 3 kg costă 6 lei. 3 kg…………………………………….6 lei 10 kg……………………...……………x lei Pentru aflarea necunoscutei se face înmulțirea pe diagonală. 3⋅x=10⋅63 \cdot x=10 \cdot 6 x=10⋅63=x=\frac{10 \cdot 6}3=20 lei În exemplul de mai sus se poate observa relația directă dintre kg si preț. Cu cât avem mai multe kg prețul va fi mai mare, iar cu cât avem mai puține kg, prețul va fi mai mic.
b. Mărimi invers proporţionale. Regula de trei simplă Două mărimi sunt invers proporţionale dacă depind în mod invers una de alta, astfel încât dacă una se mărește de un număr de ori, atunci cealaltă se micșorează de același număr de ori, respectiv dacă una se micșorează de un număr de ori, atunci cealaltă se mărește de același număr de ori. Mărimile a și b sunt invers proporţionale cu mărimile x și y dacă: a1x=b1y  ⟺  a⋅x=b⋅y=k\frac{a}{\frac{1}x} = \frac{b}{\frac{1}y} \iff a \cdot x = b \cdot y = k   ⟺  a=kx,  b=ky\iff a = \frac{k}{x},\; b = \frac{k}{y} Regula de 3 simplă pentru mărimile invers proporționale: În câte zile termină o lucrare 10 muncitori dacă 3 muncitori termină lucrarea in 20 zile. 3 muncitori ………………………………….20 zile 10 muncitori …………….….......……………y zile Pentru aflarea necunoscutei se face înmulțirea pe linie. 3⋅20=10⋅y3 \cdot 20=10 \cdot y y=3⋅2010=6y=\frac{3 \cdot 20}{10}=6  zile În exemplul de mai sus se poate observa relația inversă dintre muncitori si zile. Cu cât sunt mai mulți muncitori lucrarea se va termina mai repede, iar cu cât sunt mai puțini muncitori lucrarea va dura mai mult.
c. Probabilitatea Probabilitatea este definită ca raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile. p=nr cazuri favorabilenr cazuri posibilep=\frac{\text{nr cazuri favorabile}}{\text{nr cazuri posibile}} Rezultatul se scrie, de obicei, sub forma de fracție ireductibilă. Exemplul 1: Se aruncă un zar. Care este probabilitatea să iasă un număr par?      - Cazuri favorabile: 2, 4, 6 → 3 cazuri      - Cazuri posibile: 1, 2, 3, 4, 5, 6 → 6 cazuri       p=36=12p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} Exemplul 2: Care este probabilitatea  ca alegând un număr din mulțimea divizorilor lui 24 să fie prim?      - Cazuri favorabile: 2, 3 → 2 cazuri      - Cazuri posibile: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 → 8 cazuri       p=28=14p = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} Exemplul 3: Care este probabilitatea  ca alegând un număr din mulțimea numerelor de două cifre să fie divizibil cu 10?      - Cazuri favorabile: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 → 9 cazuri      - Cazuri posibile: 10, 11, 12, …, 99 → 90 cazuri       p=990=110p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}