Divizibilitatea numerelor întregi
Test 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Descompunerea în factori primi a numărului 48 este:

2^5 \cdot 5

2^4 \cdot 3

3^2 \cdot 5

2^3 \cdot 6

Exercițiul 2

Descompunerea în factori primi a numărului 72 este:

2^3 \cdot 3^2

2^2 \cdot 3^3

6^2 \cdot 2

2^4 \cdot 3

Exercițiul 3

Cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 32 este:

a) 6

b) 8

c) 2

d) 4

Exercițiul 4

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 27 este:

a) 36

b) 108

c) 216

d) 54

Exercițiul 5

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 3, 5 și 6 dă de fiecare dată restul 2:

a) 32

b) 30

c) 28

d) 17

Exercițiul 6

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 4, 5 și 7 dă restul 1 în fiecare caz:

a) 121

b) 139

c) 140

d) 141

Exercițiul 7

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 3, împărțit la 6 dă restul 4 și împărțit la 8 dă restul 6:

a) 122

b) 118

c) 238

d) 242

Exercițiul 8

Un număr natural  nnn  împărțit la 10 dă restul 3, împărțit la 15 dă restul 8 și împărțit la 25 dă restul 18. Aflați cel mai mic număr  nnn:

a) 143

b) 153

c) 148

d) 138

Exercițiul 9

Se cunosc  (a,b)=6(a,b)=6(a,b)=6  și  [a,b]=180.[a,b]=180.[a,b]=180.  Aflați produsul numerelor  a⋅ba·ba⋅b.

a) 108

b) 540

c) 1080

d) 2160

Exercițiul 10

Se cunosc  (a,b)=6(a,b)=6(a,b)=6  și  a+b=42.a+b=42.a+b=42.  Aflați numerele  aaa  și  bbb.

(6,36)

(12,30)

(18,24)

d) Toate variantele

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Răspuns corect: b) $2^4 \cdot 3$

Explicație:4822421226233148=24⋅3\begin{array}{r|l}
& 2 \\
& 2 \\
& 2 \\
& 2 \\
& 3 \\
&
\end{array}\\[6pt]

= 2^4 \cdot 3482412631​22223​48=24⋅3

Exercițiul 2

Răspuns corect: a) $2^3 \cdot 3^2$

Explicație:7223621829333172=23⋅32\begin{array}{r|l}
& 2 \\
& 2 \\
& 2 \\
& 3 \\
& 3 \\
&
\end{array}\\[6pt]

= 2^3 \cdot 3^2723618931​22233​72=23⋅32

Exercițiul 3

Răspuns corect: c) 2

Explicație:1829333118=2⋅32322162824222132=25\begin{array}{r|l} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \\[6pt] 
18 = 2 \cdot 3^2 \\[12pt] 
\begin{array}{r|l} 32 & 2 \\ 16 & 2 \\ 8 & 2 \\ 4 & 2 \\ 2 & 2 \\ 1 & \end{array} \\[6pt] 
32 = 2^518931​233​18=2⋅3232168421​22222​32=25
 
Cel mai mare divizor comun este cel mai mare număr care divide numerele date. 

Pentru a afla cel mai mare divizor comun descompunem numerele în factori primi și alegem factorii comuni la puterea cea mai mică câte o singură dată.
18=2⋅3232=25⇒(18,32)=218 = 2 \cdot 3^2 \\[6pt]  
32 = 2^5 \\[6pt] 
\Rightarrow (18,32)=218=2⋅3232=25⇒(18,32)=2

Exercițiul 4

Răspuns corect: b) 108

Explicație:1226233112=22⋅32739333127=33\begin{array}{r|l} 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \\[6pt] 
12 = 2^2 \cdot 3 \\[12pt]
\begin{array}{r|l} 27 & 3 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \\[6pt] 27 = 3^312631​223​12=22⋅327931​333​27=33
 
Cel mai mic multiplu comun este cel mai mic număr care este multiplu al numerelor date.  

Pentru a afla cel mai mic multiplu comun descompunem numerele în factori primi și alegem toți factorii primi care apar, la puterea cea mai mare. 
12=22⋅327=33⇒[12,27]=22⋅33=10812 = 2^2 \cdot 3 \\[6pt] 
27 = 3^3 \\[6pt] 
\Rightarrow [12,27] = 2^2 \cdot 3^3 = 10812=22⋅327=33⇒[12,27]=22⋅33=108
 

Exercițiul 5

Răspuns corect: a) 32

Explicație:Notăm cu  nnn  numărul căutat.
{n:3=c1 cu restul 2n:5=c2 cu restul 2n:6=c3 cu restul 2\left\{ \begin{array}{l} n:3=c_1 \text{ cu restul } 2\\ n:5=c_2 \text{ cu restul } 2\\ n:6=c_3 \text{ cu restul } 2 \end{array} \right.⎩⎨⎧​n:3=c1​ cu restul 2n:5=c2​ cu restul 2n:6=c3​ cu restul 2​
 
Aplicând teorema împărțirii cu rest, obținem: 
{n=3c1+2n=5c2+2n=6c3+2\left\{ \begin{array}{l} n=3c_1+2\\ n=5c_2+2\\ n=6c_3+2 \end{array} \right.⎩⎨⎧​n=3c1​+2n=5c2​+2n=6c3​+2​
 Scădem 2 din fiecare relație: {n−2=3c1n−2=5c2n−2=6c3\left\{ \begin{array}{l} n-2=3c_1\\ n-2=5c_2\\ n-2=6c_3 \end{array} \right.⎩⎨⎧​n−2=3c1​n−2=5c2​n−2=6c3​​
 
Rezultă că numărul  n−2n-2n−2  este divizibil cu 3, 5 și 6. 
Prin urmare,  n−2n-2n−2  trebuie să fie un multiplu comun al numerelor 3, 5 și 6. 
Calculăm cel mai mic multiplu comun: 
3313=35515=5623316=2⋅3[3,5,6]=2⋅3⋅5=30\begin{array}{r|l} 3 & 3\\ 1 & \end{array} \qquad 3=3\\[12pt]
\begin{array}{r|l} 5 & 5\\ 1 & \end{array} \qquad 5=5 \\[12pt]
\begin{array}{r|l} 6 & 2\\ 3 & 3\\ 1 & \end{array} \qquad 6=2\cdot3\\[12pt]
[3,5,6]=2\cdot3\cdot5=3031​3​3=351​5​5=5631​23​6=2⋅3[3,5,6]=2⋅3⋅5=30
 
Cel mai mic număr posibil pentru  n−2n-2n−2  este 30. 
n−2=30⇒n=32n-2=30 \Rightarrow  n=32n−2=30⇒n=32
 

Exercițiul 6

Răspuns corect: d) 141

Explicație:Notăm cu  nnn  numărul căutat.
{n:4=c1 cu restul 1n:5=c2 cu restul 1n:7=c3 cu restul 1\left\{
\begin{array}{l}
n:4=c_1 \text{ cu restul } 1\\
n:5=c_2 \text{ cu restul } 1\\
n:7=c_3 \text{ cu restul } 1
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n:4=c1​ cu restul 1n:5=c2​ cu restul 1n:7=c3​ cu restul 1​

Aplicând teorema împărțirii cu rest, obținem:
{n=4c1+1n=5c2+1n=7c3+1\left\{
\begin{array}{l}
n=4c_1+1\\
n=5c_2+1\\
n=7c_3+1
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n=4c1​+1n=5c2​+1n=7c3​+1​

Scădem 1 din fiecare dintre relațiile anterioare:
{n−1=4c1n−1=5c2n−1=7c3\left\{
\begin{array}{l}
n-1=4c_1\\
n-1=5c_2\\
n-1=7c_3
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n−1=4c1​n−1=5c2​n−1=7c3​​

Rezultă că numărul  n−1n-1n−1  este divizibil cu 4, 5 și 7, deci  n−1n-1n−1  este un multiplu comun al numerelor 4, 5 și 7.

Calculăm cel mai mic multiplu comun:
422214=225515=57717=7[4,5,7]=22⋅5⋅7=140\begin{array}{r|l}
4 & 2\\
2 & 2\\
1 &
\end{array}
\qquad
4=2^2
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
5 & 5\\
1 &
\end{array}
\qquad
5=5
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
7 & 7\\
1 &
\end{array}
\qquad
7=7
\\[12pt]
[4,5,7]=2^2\cdot5\cdot7=140421​22​4=2251​5​5=571​7​7=7[4,5,7]=22⋅5⋅7=140

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 4, 5 și 7 este 140.

Prin urmare, cea mai mică valoare posibilă a lui  n−1n-1n−1  este 140.
n−1=140⇒n=141n-1=140 \Rightarrow n=141n−1=140⇒n=141

Exercițiul 7

Răspuns corect: b) 118

Explicație:Notăm cu  nnn  numărul căutat.
{n:5=c1 cu restul 3n:6=c2 cu restul 4n:8=c3 cu restul 6\left\{
\begin{array}{l}
n:5=c_1 \text{ cu restul } 3\\
n:6=c_2 \text{ cu restul } 4\\
n:8=c_3 \text{ cu restul } 6
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n:5=c1​ cu restul 3n:6=c2​ cu restul 4n:8=c3​ cu restul 6​

Aplicând teorema împărțirii cu rest, obținem:
{n=5c1+3n=6c2+4n=8c3+6\left\{
\begin{array}{l}
n=5c_1+3\\
n=6c_2+4\\
n=8c_3+6
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n=5c1​+3n=6c2​+4n=8c3​+6​

Observăm că restul obținut la fiecare împărțire este cu 2 mai mic decât împărțitorul:
3=5−24=6−26=8−23=5-2\\4=6-2\\6=8-23=5−24=6−26=8−2

Adunăm 2 în fiecare dintre relațiile anterioare:
{n+2=5c1+5n+2=6c2+6n+2=8c3+8\left\{
\begin{array}{l}
n+2=5c_1+5\\
n+2=6c_2+6\\
n+2=8c_3+8
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n+2=5c1​+5n+2=6c2​+6n+2=8c3​+8​

În fiecare membru drept scoatem factor comun pe 5, respectiv pe 6 și pe 8:
{n+2=5(c1+1)n+2=6(c2+1)n+2=8(c3+1)\left\{
\begin{array}{l}
n+2=5(c_1+1)\\
n+2=6(c_2+1)\\
n+2=8(c_3+1)
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n+2=5(c1​+1)n+2=6(c2​+1)n+2=8(c3​+1)​

Rezultă că numărul  n+2n+2n+2  este divizibil cu 5, 6 și 8, deci  n+2n+2n+2  este un multiplu comun al numerelor 5, 6 și 8.

Calculăm cel mai mic multiplu comun:
5515=5623316=2⋅382422218=23[5,6,8]=23⋅3⋅5=120\begin{array}{r|l}
5 & 5\\
1 &
\end{array}
\qquad
5=5
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
6 & 2\\
3 & 3\\
1 &
\end{array}
\qquad
6=2\cdot3
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
8 & 2\\
4 & 2\\
2 & 2\\
1 &
\end{array}
\qquad
8=2^3
\\[12pt]
[5,6,8]=2^3\cdot3\cdot5=12051​5​5=5631​23​6=2⋅38421​222​8=23[5,6,8]=23⋅3⋅5=120

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 5, 6 și 8 este 120.
Prin urmare, cea mai mică valoare posibilă a lui  n+2n+2n+2  este 120.
n+2=120⇒n=118n+2=120 \Rightarrow n=118n+2=120⇒n=118

Exercițiul 8

Răspuns corect: a) 143

Explicație:Notăm cu  nnn  numărul căutat.
{n:10=c1 cu restul 3n:15=c2 cu restul 8n:25=c3 cu restul 18\left\{
\begin{array}{l}
n:10=c_1 \text{ cu restul } 3\\
n:15=c_2 \text{ cu restul } 8\\
n:25=c_3 \text{ cu restul } 18
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n:10=c1​ cu restul 3n:15=c2​ cu restul 8n:25=c3​ cu restul 18​

Aplicând teorema împărțirii cu rest, obținem:
{n=10⋅c1+3n=15⋅c2+8n=25⋅c3+18\left\{
\begin{array}{l}
n=10 \cdot c_1+3\\
n=15 \cdot c_2+8\\
n=25 \cdot c_3+18
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n=10⋅c1​+3n=15⋅c2​+8n=25⋅c3​+18​

Observăm că restul obținut la fiecare împărțire este cu 7 mai mic decât împărțitorul:
3=10−78=15−718=25−73=10-7
\\
8=15-7
\\
18=25-73=10−78=15−718=25−7

Adunăm 7 în fiecare dintre relațiile anterioare:
{n+7=10⋅c1+10n+7=15⋅c2+15n+7=25⋅c3+25\left\{
\begin{array}{l}
n+7=10 \cdot c_1+10\\
n+7=15 \cdot c_2+15\\
n+7=25 \cdot c_3+25
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n+7=10⋅c1​+10n+7=15⋅c2​+15n+7=25⋅c3​+25​

În fiecare membru drept scoatem factorul comun:
{n+7=10(c1+1)n+7=15(c2+1)n+7=25(c3+1)\left\{
\begin{array}{l}
n+7=10(c_1+1)\\
n+7=15(c_2+1)\\
n+7=25(c_3+1)
\end{array}
\right.⎩⎨⎧​n+7=10(c1​+1)n+7=15(c2​+1)n+7=25(c3​+1)​

Rezultă că numărul  n+7n+7n+7  este divizibil cu 10, 15 și 25, deci  n+7n+7n+7  este un multiplu comun al numerelor 10, 15 și 25.

Calculăm cel mai mic multiplu comun:
10255110=2⋅515355115=3⋅525555125=52[10,15,25]=2⋅3⋅52=150\begin{array}{r|l}
10 & 2\\
5 & 5\\
1 &
\end{array}
\qquad
10=2\cdot5
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
15 & 3\\
5 & 5\\
1 &
\end{array}
\qquad
15=3\cdot5
\\[12pt]
\begin{array}{r|l}
25 & 5\\
5 & 5\\
1 &
\end{array}
\qquad
25=5^2
\\[12pt]
[10,15,25]=2\cdot3\cdot5^2=1501051​25​10=2⋅51551​35​15=3⋅52551​55​25=52[10,15,25]=2⋅3⋅52=150

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 10, 15 și 25 este 150.

Prin urmare, cea mai mică valoare posibilă a lui  n+7n+7n+7  este 150.
n+7=150⇒n=143n+7=150 \Rightarrow n=143n+7=150⇒n=143

Exercițiul 9

Răspuns corect: c) 1080

Explicație:Știm proprietatea fundamentală:
a⋅b=(a,b)⋅[a,b]a\cdot b=(a,b)\cdot[a,b]a⋅b=(a,b)⋅[a,b]

Înlocuim valorile date în problemă:
a⋅b=6⋅180a⋅b=1080a\cdot b=6\cdot180\\[6pt]
a\cdot b=1080a⋅b=6⋅180a⋅b=1080

Exercițiul 10

Răspuns corect: d) Toate variantele

Explicație:Deoarece cel mai mare divizor comun al numerelor este 6, rezultă că ambele numere sunt multipli ai lui 6.

Notăm:
a=6⋅xb=6⋅ya=6 \cdot x\\[6pt]
b=6 \cdot ya=6⋅xb=6⋅y

unde:  (x,y)=1(x,y)=1(x,y)=1

Din condiția problemei:
a+b=42⇒6⋅x+6⋅y=426(x+y)=42⇒x+y=7a+b=42 \Rightarrow 6 \cdot x+6 \cdot y=42\\[6pt]
6(x+y)=42 \Rightarrow x+y=7a+b=42⇒6⋅x+6⋅y=426(x+y)=42⇒x+y=7

Căutăm toate perechile de numere naturale prime între ele cu suma 7:
1+6=72+5=73+4=71+6=7 \\[6pt]
2+5=7 \\[6pt]
3+4=7 \\[6pt]1+6=72+5=73+4=7

Determinăm valorile lui  aaa  și  bbb  înmulțind pe  xxx  și  yyy cu 6:
xy(a,b)16(6,36)25(12,30)34(18,24)\begin{array}{c|c|c}
x & y & (a,b) \\
\hline
1 & 6 & (6,36)\\
2 & 5 & (12,30)\\
3 & 4 & (18,24)
\end{array}x123​y654​(a,b)(6,36)(12,30)(18,24)​​

Rezultă că toate cele trei perechi satisfac condițiile problemei:
(6,36), (12,30), (18,24)(6,36),\ (12,30),\ (18,24)(6,36), (12,30), (18,24)

Test 2

Divizibilitatea numerelor întregi

Exercițiul 1

Descompunerea în factori primi a numărului 48 este:

Exercițiul 2

Descompunerea în factori primi a numărului 72 este:

Exercițiul 3

Cel mai mare divizor comun al numerelor 18 și 32 este:

Exercițiul 4

Cel mai mic multiplu comun al numerelor 12 și 27 este:

Exercițiul 5

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 3, 5 și 6 dă de fiecare dată restul 2:

Exercițiul 6

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 4, 5 și 7 dă restul 1 în fiecare caz:

Exercițiul 7

Aflați cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 3, împărțit la 6 dă restul 4 și împărțit la 8 dă restul 6:

Exercițiul 8

Un număr natural  nnn  împărțit la 10 dă restul 3, împărțit la 15 dă restul 8 și împărțit la 25 dă restul 18. Aflați cel mai mic număr  nnn:

Exercițiul 9

Se cunosc  (a,b)=6(a,b)=6(a,b)=6  și  [a,b]=180.[a,b]=180.[a,b]=180.  Aflați produsul numerelor  a⋅ba·ba⋅b.

Exercițiul 10

Se cunosc  (a,b)=6(a,b)=6(a,b)=6  și  a+b=42.a+b=42.a+b=42.  Aflați numerele  aaa  și  bbb.

Răspunsuri corecte 0

Mai sunt 10 întrebări fără răspuns

Vezi: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

Divizibilitatea numerelor întregiTest 2

Enunțuri și variante de răspuns

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Răspunsuri corecte și explicații

Exercițiul 1

Exercițiul 2

Exercițiul 3

Exercițiul 4

Exercițiul 5

Exercițiul 6

Exercițiul 7

Exercițiul 8

Exercițiul 9

Exercițiul 10

Test 2

Divizibilitatea numerelor întregi
Test 2