Mulțimea numerelor întregi

2.1 Operații cu numere întregi a. Adunarea și scăderea Pentru a aduna două numere întregi cu același semn se pune semnul comun și se face adunarea valorilor numerice. Semnul unui număr este cel din fața lui (dacă nu există semn înseamnă că este +). Exemple:

\begin{aligned} +3 + 4 &= +(3+4) = +7 \\ -2 - 5 &= -(2+5) = -7 \\ +6 + 9 &= +(6+9) = +15 \\ -8 - 3 &= -(8+3) = -11 \\ +10 + 5 &= +(10+5) = +15 \end{aligned}

Pentru a aduna două numere întregi de semne opuse se pune semnul celui cu valoarea absolută mai mare și se face scăderea valorilor numerice. Exemple:

\begin{aligned} +5 - 2 &= +(5-2) = +3 \\ -7 + 3 &= -(7-3) = -4 \\ +9 - 12 &= -(12-9) = -3 \\ -15 + 8 &= -(15-8) = -7 \\ +20 - 7 &= +(20-7) = +13 \end{aligned}

Notă: Dacă două valorile numerice sunt egale și semnele opuse, suma va fi

0

, de exemplu

+6 - 6 = 0

b. Înmulțirea și împărțirea Pentru a înmulți sau a împărți două numere întregi trebuie să ținem cont de regula semnelor:

(+) \cdot (+) = (+)

(-) \cdot (-) = (+)

(+) \cdot (-) = (-)

(-) \cdot (+) = (-)

Exemple de înmulțire:

\begin{aligned} (+3) \cdot (+4) &= +12 \\ (-2) \cdot (-5) &= +10 \\ (+6) \cdot (-7) &= -42 \\ (-8) \cdot (+9) &= -72 \\ (-3) \cdot (-11) &= +33 \end{aligned}

Exemple de împărțire:

\begin{aligned} (+12) : (-4) &= -3 \\ (-20) : (+5) &= -4 \\ (+30) : (+6) &= +5 \\ (-45) : (-9) &= +5 \\ (+18) : (-3) &= -6 \end{aligned}

c. Formule de calcul cu puteri

а^m \cdot а^n = а^{m+n}

а^m : а^n = а^{m-n}

\left(а^m\right)^n = а^{m \cdot n}

а^m \cdot b^m = \left(а \cdot b\right)^m

а^m : b^m = \left(а : b\right)^m

De reținut:

0^n = 0,\quad 1^n = 1

n^0 = 1,

pentru

n ≠ 0

(-x)^{\text{2k}} = x^{\text{2k}}

(puterea pară a unui număr)

(-x)^{\text{2k+1}} = -\,x^{\text{2k+1}}

(puterea impară a unui număr) Exemple:

а^m \cdot а^n = а^{m+n}

\begin{aligned} 2^3 \cdot 2^4 &= 2^{3+4} = 2^7 = 128 \\ 5^2 \cdot 5^3 &= 5^{2+3} = 5^5 = 3125 \end{aligned}

а^m : а^n = а^{m-n}

\begin{aligned} 2^5 : 2^2 &= 2^{5-2} = 2^3 = 8 \\ 7^4 : 7^2 &= 7^{4-2} = 7^2 = 49 \end{aligned}

(а^m)^n = а^{m \cdot n}

\begin{aligned} (3^2)^3 &= 3^{2\cdot3} = 3^6 = 729 \\ (2^3)^4 &= 2^{3\cdot4} = 2^{12} = 4096 \end{aligned}

а^m \cdot b^m = (а \cdot b)^m

\begin{aligned} 2^3 \cdot 5^3 &= (2\cdot5)^3 = 10^3 = 1000 \\ 3^2 \cdot 4^2 &= (3\cdot4)^2 = 12^2 = 144 \end{aligned}

а^m : b^m = (а : b)^m

\begin{aligned} 8^3 : 2^3 &= (8:2)^3 = 4^3 = 64 \\ 10^2 : 5^2 &= (10:5)^2 = 2^2 = 4 \end{aligned}

0^n = 0, \quad 1^n = 1

0^5 = 0, \quad 1^7 = 1

n^0 = 1, \quad n\neq 0

5^0 = 1, \quad 12^0 = 1

(-x)^{2k} = x^{2k}

(putere pară)

(-2)^4 = 2^4 = 16, \quad (-5)^2 = 5^2 = 25

(-x)^{2k+1} = -\,x^{2k+1}

(putere impară)

(-3)^3 = -27, \quad (-4)^5 = -1024

d. Ordinea efectuării operațiilor În lipsa parantezelor se fac mai întâi înmulțirile și împărțirile, apoi adunările și scăderile. Dacă există paranteze se fac mai întâi calculele din paranteză (în paranteză se aplică regula de mai sus: înmulțirile și împărțirile primele, apoi adunările și scăderile). La rezolvarea exercițiilor folosind metoda mersului invers operațiile se schimbă în felul următor: • adunarea devine scădere și scăderea devine adunare. • înmulțirea devine împărțire și împărțirea devine înmulțire. Exemple: Fără paranteze:

3 + 5 \cdot 2 = 3 + 10 = 13

12 : 4 + 6 = 3 + 6 = 9

Cu paranteze:

(3 + 5) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16

(12 - 4) : 2 + 3 = 8 : 2 + 3 = 4 + 3 = 7

5 + 2 \cdot (3 + 7) = 5 + 2 \cdot 10 = 5 + 20 = 25

Notă: În toate exemplele, mai întâi se efectuează operațiile din paranteze (dacă există), apoi înmulțirile și împărțirile, iar la final adunările și scăderile. Exemple de rezolvare cu metoda mersului invers: → adunarea devine scădere:

x + 7 = 15

x = 15 - 7 = 8

→ înmulțirea devine împărțire:

3 \cdot x = 12

x = 12 : 3 = 4

→ adunarea devine scădere → înmulțirea devine împărțire:

5 + 2 \cdot x = 17

2 \cdot x = 17 - 5

2 \cdot x= 12

x = 12 : 2 = 6

e. Suma lui Gauss

1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Exemplul 1:

1 + 2 + 3 + \cdots + 100=

= \frac{100(100+1)}{2}

= \frac{100 \cdot 101}{2}

= 50 \cdot 101

= 5050

Exemplul 2:

1 + 2 + 3 + \cdots + 50 =

= \frac{50(50+1)}{2}

= \frac{50 \cdot 51}{2}

= 25 \cdot 51

= 1275

Exemplul 3:

1 + 2 + 3 + \cdots + 200 =

= \frac{200(200+1)}{2}

= \frac{200 \cdot 201}{2}

= 100 \cdot 201

= 20100

f. Teorema împărțirii cu rest Teorema împărțirii cu rest afirmă că pentru orice deîmpărțit (D) și împărțitor (Î≠ 0), există un cât unic (C) și un rest unic (R) astfel încât: D = Î·C + R, cu condiția obligatorie ca 0 ≤ R < |Î|. Exemple:

17 : 5=3;

= 2

17 = 5 \cdot 3 + 2

23 : 4 = 5;

= 3

23 = 4 \cdot 5 + 3

50 : 7 = 7;

= 1

50 = 7 \cdot 7 + 1

g. Diverse de reținut • opusul unui număr oarecare x este -x • forma generală a unui număr par este 2k • numerele consecutive pare au forma 2k, 2k+2, 2k+4 • forma generală a unui număr impar este 2k+1 • numerele consecutive impare au forma 2k+1, 2k+3, 2k+5 • descompunerea unor numere de mai multe cifre:

\overline{аb} = а \cdot 10 + b

\overline{аbc} = а \cdot 100 + b \cdot 10 + c

\overline{аbcd} = а \cdot 1000 + b \cdot 100 + c \cdot10 + d

\overline{32} = 3 \cdot 10 + 2

\overline{154} = 1 \cdot 100 + 5 \cdot 10 + 4

\overline{2563} = 2 \cdot 1000 + 5 \cdot 100 + 6 \cdot10 + 3

2.2 Divizibilitatea numerelor întregi a. Divizor și multiplu Un număr d este divizor al unui număr a dacă a se împarte exact la d adică:

a ∶ d = c

, rest 0 Exemplu: Mulțimea divizorilor naturali ai lui 18 este:

D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}

Un număr m este multiplu al unui număr a dacă m se împarte exact la a adică:

m ∶ a = c

, rest 0 Exemplu: Mulțimea multiplilor naturali ai lui 18 este:

M_{18}=\{0,18,36,54, \dots\}

Altfel spus: m ⋮ a se citește: "m este divizibil cu a" (m se împarte exact la a) d | a se citește: "d îl divide pe a" (a se împarte exact la d) Pentru un număr oarecare nenul a: numerele 1 și a se numesc divizori improprii. Toți ceilalți divizori sunt divizori proprii. Exemplu:

D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}

divizori improprii: 1, 18 divizori proprii: 2, 3, 6, 9 Un număr este prim, dacă este mai mare decât 1 și dacă are exact doi divizori: 1 și el însuși, adică doar divizori improprii. Numerele care nu sunt prime se numesc compuse. Numere prime 2, 3, 5,

\cdots

Numere compuse 4, 6, 8,

\cdots

De reținut: singurul număr prim par este 2. Numerele prime între ele sunt două numere care au ca singur divizor comun numărul 1.

b. Criterii de divizibilitate • Un număr întreg este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este pară. Exemple: 14 (ultima cifră 4) 28 (ultima cifră 8) 102 (ultima cifră 2) 56 (ultima cifră 6) 200 (ultima cifră 0) • Un număr întreg este divizibil cu 3 (sau cu 9) dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 3 (sau la 9). Exemple: divizibil cu 3 12 → 1+2=3 111 → 1+1+1=3 123 → 1+2+3=6 90 → 9+0=9 27 → 2+7=9 • Un număr întreg este divizibil cu 4 dacă numărul format din ultimele sale două cifre este un număr care se împarte exact la 4. Exemple: 112 → ultimele două cifre 12 → 12 ÷ 4 = 3 216 → ultimele două cifre 16 → 16 ÷ 4 = 4 408 → ultimele două cifre 08 → 8 ÷ 4 = 2 1,204 → ultimele două cifre 04 → 4 ÷ 4 = 1 5,600 → ultimele două cifre 00 → 0 ÷ 4 = 0 • Un număr întreg este divizibil cu 5 dacă ultima sa cifră este 0 sau 5. Exemple: 15 → ultima cifră 5 20 → ultima cifră 0 55 → ultima cifră 5 100 → ultima cifră 0 85 → ultima cifră 5 • Un număr întreg este divizibil cu 10 dacă ultima sa cifră este 0. Exemple: 10 → ultima cifră 0 50 → ultima cifră 0 120 → ultima cifră 0 1,000 → ultima cifră 0 2,430 → ultima cifră 0

c. Descompunerea numerelor Descompunerea unui număr se face împărțindu-l succesiv doar la numere prime. Etape: • Se împarte numărul la cel mai mic număr prim posibil (2, 3, 5…). • se scrie cât a rezultat după împărțire. • se continuă împărțirea până rămâne 1. • produsul tuturor numerelor prime obținute este descompunerea finală. Notă: în notația matematică, exponenții arată de câte ori apare fiecare factor prim. Exemple:

\begin{array}{r|l} 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\12 = 2^2 \cdot 3

\begin{array}{r|l} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\36 = 2^2 \cdot 3^2

\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array}\\48 = 2^4 \cdot 3

\begin{array}{r|l} 50 & 2 \cdot 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\\50 = 2 \cdot 5^2

\begin{array}{r|l} 150 & 2 \cdot 5 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\\150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2

d. Cel mai mare divizor comun Cel mai mare divizor comun (Cmmdc) este cel mai mare număr care divide numerele date. Pentru a afla Cmmdc descompunem numerele în factori primi și alegem factorii comuni la puterea cea mai mică câte o singură dată. Exemplul 1:

12 = 2^2 \cdot 3

36 = 2^2 \cdot 3^2

(12,36) = 2^2 \cdot 3 = 12

Exemplul 2:

12 = 2^2 \cdot 3

150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2

(12,150) = 2 \cdot 3 = 6

Două numere întregi sunt prime între ele (coprime) dacă ele nu au alt divizor comun în afară de 1, sau, altfel spus, dacă cel mai mare divizor comun al lor este 1. Exemplu:

(4,9)=1

Se poate observa că atât 4 cât și 9 nu sunt numere prime (au divizori). A nu se face confuzia între numere prime și numere prime între ele.

e. Cel mai mic multiplu comun Cel mai mic multiplu comun (Cmmmc) este cel mai mic număr care se împarte exact la numerele date. Pentru a afla Cmmmc descompunem numerele în factori primi și alegem factorii comuni și necomuni la puterea cea mai mare câte o singură dată. Exemplul 1:

12 = 2^2 \cdot 3

36 = 2^2 \cdot 3^2

[12,36] = 2^2 \cdot 3^2 = 36

Exemplul 2:

12 = 2^2 \cdot 3

150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2

[12,150] = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 300

Produsul dintre cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun este egal cu produsul celor două numere: (a,b)

\cdot

[a,b] = a

\cdot

b Exemplul 1: (12,36)=12 [12,36]=36 (12,36)•[12,36]=12•36=432 Exemplul 2: (12,150)=6 [12,150]=300 (12,150)•[12,150]=6•300=12•150=1800