Operații cu mulțimi
Test 2
Enunțuri și variante de răspuns
Exercițiul 1
Fie A={1,2,3} și A∪B={1,2,3,4,5}. Să se afle B știind că aceasta are număr minim de elemente. a)
{3,4,5}c)
{1,2,3,4,5}Exercițiul 2
Fie A={2,4,6,8} și A∩B={4,6}. Să se afle B, știind că B⊆A. c)
{4,6,8}d)
{2,4,6,8}Exercițiul 3
Dacă A={1,3,5} și diferența A∖B={1,5}, să se afle B, știind că A∪B={1,2,3,5}. Exercițiul 4
Se dau mulțimile egale A={3,x+1,7} și B={2,3,7}. Determinați valoarea numărului natural x. Exercițiul 5
Fie mulțimile egale A={x−2,5,9} și B={3,5,9}. Aflați valoarea parametrului natural x. Exercițiul 6
Dacă B∖A={4,6} și A∩B={2}, determinați B. c)
{2,4,6}Exercițiul 7
Fie A={1,2,3,4} și B∖A={5,6}. Știind că A∪B={1,2,3,4,5,6}, să se afle B, știind că aceasta are număr maxim de elemente. b)
{1,2,3,4,5,6}c)
{1,2,5,6}d)
{3,4,5,6}Exercițiul 8
Fie A={1,2,3,4,5} și A∖B={1,2}. Aflați numărul de elemente ale mulțimii B, știind că B⊆A. Exercițiul 9
Se dau mulțimile egale A={2x,6} și B={4,y+1}, unde x și y sunt numere naturale. Determinați valoarea sumei x+y, dacă A și B au câte două elemente distincte. Exercițiul 10
Determinați valoarea produsului x⋅y știind că A={x+2,9} și B={5,2y−1} sunt egale și au câte două elemente distincte, cu x,y∈N. Răspunsuri corecte și explicații
Exercițiul 1
Răspuns corect: d) {4,5}
Explicație:Deoarece A∪B conține toate elementele din A și din B, iar A={1,2,3}, elementele 4 și 5 trebuie să aparțină obligatoriu mulțimii B.
Pentru ca B să aibă număr minim de elemente, el va conține doar elementele strict necesare.
Deci B={4,5}. Exercițiul 2
Răspuns corect: a) {4,6}
Explicație:Intersecția A∩B reprezintă elementele comune. Cum B⊆A, toate elementele lui B se află în A, deci intersecția lor este însăși mulțimea B.
Așadar, B=A∩B={4,6}. Exercițiul 3
Răspuns corect: d) {2,3}
Explicație:Diferența A∖B ne arată elementele din A care nu sunt în B.
Din A={1,3,5} și A∖B={1,5}, deducem că elementul 3 aparține lui B.
De asemenea, din A∪B={1,2,3,5}, elementul 2 trebuie să fie în B.
Deci B={2,3}. Exercițiul 4
Răspuns corect: b) 1
Explicație:Deoarece mulțimile sunt egale și elementele 3 și 7 apar deja în ambele mulțimi, rezultă că și al treilea element trebuie să fie același.
Așadar, x+1=2, de unde obținem x=1. Exercițiul 5
Răspuns corect: a) 5
Explicație:Deoarece A=B, elementul x−2 trebuie să fie egal cu 3.
x−2=3⟹x=5. Exercițiul 6
Răspuns corect: c) {2,4,6}
Explicație:B este formată din reuniunea dintre elementele care sunt doar în B (B∖A) și elementele comune (A∩B).
Deci B=(B∖A)∪(A∩B)={4,6}∪{2}={2,4,6}. Exercițiul 7
Răspuns corect: b) {1,2,3,4,5,6}
Explicație:Pentru ca B să aibă număr maxim de elemente, toate elementele lui A pot fi incluse și în B.
În plus, B trebuie să conțină elementele 5 și 6.
Astfel B={1,2,3,4,5,6}. Exercițiul 8
Răspuns corect: b) 3
Explicație:Deoarece B⊆A, atunci B este inclusă în A.
Diferența A∖B={1,2} reprezintă elementele din A care nu sunt în B.
Întrucât A={1,2,3,4,5}, eliminând elementele 1 și 2, obținem elementele care aparțin lui B.
Deci B={3,4,5}, care are 3 elemente. Exercițiul 9
Răspuns corect: c) 7
Explicație:Deoarece mulțimile sunt egale (A=B) și 6=4, elementul 2x trebuie să fie egal cu 4, iar y+1 trebuie să fie egal cu 6.
Din 2x=4 obținem x=2, iar din y+1=6 obținem y=5.
Deci x+y=2+5=7. Exercițiul 10
Răspuns corect: a) 15
Explicație:Deoarece 9=5, elementul x+2 din A trebuie să corespundă cu 5 din B, iar 2y−1 trebuie să corespundă cu 9.
Rezultă că x+2=5⇒x=3, iar 2y−1=9⇒y=5.
Produsul este x⋅y=3⋅5=15.